Problemas "Geométricas" en la forma normal de Jordan de un operador especial

Question

Supongamos que usted tiene una clase de alumnos más o menos familiarizados con el concepto de la matriz de un operador lineal. Que han visto y calcula un montón de ejemplos en diversas contexto: transformaciones geométricas (rotaciones, reflexiones, escala a lo largo de ejes, ...), los operadores de polinomios (derivación), número de la teoría de ($\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n$, lineal en $\mathbb{R}$ pero no más de $\mathbb{C}$).

En el estudio de la forma normal de Jordan el problema básico es encontrar la forma canónica y Jordania base de un operador. El algoritmo de uno por lo general se da a los estudiantes se inicia con la línea "elegir una base y encontrar la matriz del operador con respecto a esta base". Pero luego de dar a los estudiantes un problema de la forma "dada una matriz, encontrar su forma canónica y Jordania".

Ahora me gustaría mucho que obligan a los estudiantes a calcular el Jordan en la forma de un operador, por lo que sería elegir una base de sí mismos, encontrar la matriz correspondiente, encontrar el Jordán base y, a continuación se expresan no como un conjunto de columnas de números, sino como elementos del espacio vectorial en cuestión.

Esto necesita un par de ejemplos, aquí están:

1. $V=\mathbb{C}^2$, el operador es $A\colon\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}\overline{x}-\operatorname{Re}(y)\\(1+i)\cdot\operatorname{Im}(x)-y\end{pmatrix}$. El natural $\mathbb{R}$-base es $$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}i\\0\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0\\i\end{pmatrix},$$ la matriz de $A$ es $$\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&1&0&-1\end{pmatrix},$$ el FONDO es $\operatorname{diag}(1,J_2(-1),-1)$, y el Jordán base es, por ejemplo, $$\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}2\\4+4i\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1+4i\\4i\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0\\4i\end{pmatrix}.$$
2. $V=\mathbb{R}[t]_{\leqslant4}$, el espacio de polinomios de grado a lo más 4, y el operador de la si $f\mapsto f'+f(0)+f'(0)$. El Jordán base en este caso es un conjunto de polinomios.

Los dos ejemplos anteriores no son muy interesante, en términos del cálculo del FONDO nacional judío (unos pequeños bloques de distintos autovalores), pero esto se puede arreglar fácilmente.

Pero me parece que es bastante difícil de inventar un problema de este tipo que tienen un origen geométrico (transformaciones en, digamos 4 - o 5-dimensional espacio Euclidiano). La mayoría de las transformaciones puedo describir en simples términos geométricos (rotaciones, reflexiones, proyecciones) son ya sea diagonalizable, o han imaginario autovalores (por lo que es imposible obtener de forma posterior a la de coordinar las columnas a puntos en el espacio), o ambos.

Hay un camino para la construcción de un "geométrica" problema sobre el cálculo del FONDO?

Ya debe haber otros contextos similares a los tres descritos anteriormente,

¿cuáles son los problemas interesantes en el cálculo del FONDO de un operador en particular?

Para aclarar esta segunda pregunta, soy bien consciente de los problemas de la clase "uno sabe, la característica y un mínimo de polinomios, el rango de la plaza y el número máximo de vectores propios linealmente independientes, encontrar el FONDO nacional judío".

Aparte de su uso en la clase para que los estudiantes a recordar la noción de la matriz de un operador, esto también puede ser muy útil en un curso en línea con asignación automatizada de verificación.

Answer 1

Esto es menos geométricas, pero podría ser divertido si los estudiantes conocen las ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, supongamos $E$ ser el espacio de soluciones de $f$$f''-2f'+f=0$. A continuación, el operador de la derivada de $D$ es lineal y bien definidas $E\to E$. (Usted realmente necesita para comprobar! No es inmediatamente obvio.) En la forma de la matriz $D$ termina siendo $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$.

En general, usted puede tomar cualquier ecuación diferencial ordinaria con la constante y los coeficientes de la misma pregunta. Ahora $D$ mapa de soluciones de soluciones, ya que los viajes con la constante coeficiente diferencial operador. Jordan bloques de $D$ en el espacio de soluciones se corresponden de forma exclusiva a las raíces del polinomio característico, y se repite raíces dar a los no-diagonal de bloques.

Aquí la elección obvia de la base (si sabes cómo resolver este tipo de ecuaciones diferenciales) da la forma normal de Jordan. No mucho de un ejercicio no, pero la más importante lección está en la comprobación de que $D$, de hecho, los mapas de $E\to E$. La comprobación de que su operador está bien definido y lineal entre los espacios que quieres es una buena cosa que hacer. Y puede venir como una sorpresa que en este relativamente entorno natural (el espacio de soluciones y el operador de la derivada) siempre no-diagonal de bloques de Jordan.

Answer 2

1. Ver el siguiente.

   A. Bujosa, R. Criado, C. Vega. Normal de Jordan Formas a través de las Transformaciones Elementales. Siam Review, Vol. 40, n° 4, pág. 947-956.1998.

Si sabemos que los autovalores de a $A$, luego en el anterior y método bastante, llevamos a cabo sólo las combinaciones lineales de las filas y las columnas para obtener el Jordan en la forma de $A$.

2. Ahora elegimos aleatoriamente $A\in M_n$: a continuación, de forma genérica, los autovalores de a $A$ son distintos e $A$ es diagonalizable ( $\mathbb{C}$ ). Ahora elegimos al azar una aplicación lineal de al menos un múltiplo autovalor; a continuación, $A$ "nunca" diagonalizable. Por ejemplo, supongamos $n=2$ $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ s.t. sólo tiene el autovalor $1$, $A=\begin{pmatrix}a&b\\\dfrac{2a-a^2-1}{b}&2-a\end{pmatrix}$ o $A=\begin{pmatrix}1&0\\c&1\end{pmatrix}$; genéricamente, $A$ nunca $I_2$.

Asumimos $n=5$ y $A$ ha espectro de $0,0,0,1,1$ y nos escoger al azar a dicha matriz $A$. Podemos simular la elección al azar de $A$ como sigue (por lo que el $A\in M_5(\mathbb{Z})$):

Elija al azar

i) $T=diag(U_3,V_2)$ donde $U_3,V_2$ superior triangular y con diagonales $[0,0,0],[1,1]$.

ii) $P=LU$ donde $L$ es menor y $U$ triangular superior y s.t. las entradas de la diagonal se $\pm 1$.

y poner $A=P^{-1}TP$. A continuación, "siempre", $A$ $diag(J_3,I+J_2)$ como Jordan en la forma (donde $J_k$ es el nilpotent Jordania bloque de dimensión $k$)!!

Tenga en cuenta que $I+J_2$ es un cortante en el plano y que $J_k=Q\pi$ donde $Q=[q_{i,j}]$ es la permutación de la matriz definida por $q_{i,j}=0$ con la excepción de $q_{i,i+1}=1,q_{n,1}=1$ $\pi$ es la proyección de la $diag(0,1,1,\cdots)$.