¿Existe un número infinito de primos de la forma $\lfloor \pi n \rfloor$ ?

Question

¿Existe un número infinito de primos de la forma $\lfloor \pi n \rfloor$ ?

Esto es una especie de un título clickbait. Realmente me gustaría mostrar que para cualquier irracional real $r > 1$ , hay un número infinito de primos de la forma $\lfloor r n \rfloor$ para un número entero positivo $n$ .

Puedo demostrar que hay un número infinito de primos de la forma $\lfloor r n \rfloor$ para $r < 1+1/g$ para un fijo $g > 1$ , pero el mejor valor conocido de $g$ es $246$ incondicionalmente y $6$ asumiendo una conjetura no demostrada.

Para demostrarlo, utilizo la idea de las secuencias Beatty ( https://en.wikipedia.org/wiki/Beatty_sequence ). En el caso de un $r > 1$ , dejemos que $B(r) =\{\lfloor nr \rfloor \mid n \in \mathbb{N}^+\}$ . ( $\mathbb{N}^+$ es el conjunto de enteros positivos). Entonces El teorema de Beatty afirma que $B(r)$ y $B(r/(r-1))$ conforman una partición disjunta de $\mathbb{N}^+$ .

Si sólo hay sólo un número finito de primos en $B(r)$ , entonces todos los primos por encima de un determinado valor están en $B(r/(r-1))$ .

Tenemos $\lfloor (n+1)r \rfloor =\lfloor nr+r \rfloor \ge \lfloor nr \rfloor +\lfloor r \rfloor $ . Por lo tanto, si $r > 3$ , $B(r)$ no puede contener ningún primo gemelo. Por lo tanto, si hay un número infinito de primos gemelos, $B(r/(r-1))$ debe contener un número infinito de primos para todos los $r > 3$ , o $r/(r-1) \lt 3/2 $ .

El uso de una conjetura no demostrada puede ser eliminada a costa de una una conclusión más débil utilizando los resultados recientes sobre vacíos primos ( https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap ). Se ha demostrado que existe una constante $g$ tal que hay un número infinito de primos consecutivos que difieren en como máximo $g$ .

Se ha demostrado que $g \le 246$ incondicionalmente y que, asumiendo la conjetura de Elliott-Halberstam ( https://en.wikipedia.org/wiki/Elliott%E2%80%93Halberstam_conjecture ), $g \le 12$ ( $g \le 6$ asumiendo una forma generalizada de la conjetura).

Discutiendo como antes, si $r > g+1$ , entonces $B(r)$ no puede contener todos los primos por encima de cualquier valor finito. Pues, si lo hiciera, hay un número número infinito de primos consecutivos $p$ y $q$ tal que $q-p \le g$ , y $p$ y $q$ no pueden estar ambos en $B(r)$ .

Por lo tanto, $B(r/(r-1))$ debe contener un número infinito de primos para $r > g+1$ . Repitiendo, $B(r)$ debe contener un número infinito de primos para $r < (g+1)/g =1+1/g$ .

No sé cómo ir más allá de esto.

Answer 1

Existe una conjetura sobre el menor primo de una progresión aritmética que implicaría que la respuesta a su pregunta es sí . Para los enteros positivos coprimos $a$ , $d$ , escriba $p(a,d)$ para el menor primo congruente con $a$ modulo $d$ .

Conjetura 1 : Para cada $\epsilon>0$ el límite $p(a,d) =O_\epsilon(d^{1+\epsilon})$ es válida para todos los $a$ , $d$ .

Se sabe que la afirmación es válida si $1+\epsilon$ se sustituye por $5$ y si asumimos GRH se sabe que se mantiene con $1+\epsilon$ sustituido por $2+\epsilon$ . La conjetura y los resultados relacionados se discuten aquí .

Prueba de que la conjetura $1$ implica una respuesta afirmativa a su pregunta:. Hay infinitos pares de enteros positivos coprimos $p$ , $q$ tal que $$ 0<\frac{p}{q}-r< \frac{1}{q^2}. $$ Para tales $p$ , $q$ los enteros $$ \lfloor qr\rfloor,\lfloor 2qr\rfloor,\ldots,\lfloor q^2r\rfloor $$ forman una progresión aritmética con término inicial $p-1$ y la diferencia común $p$ . El mayor plazo es de unos $p^2/r$ Así que una vez $p$ es suficientemente grande, uno de estos términos debe ser primo.

Incondicionalmente, este argumento muestra que hay infinitos primos de la forma $\lfloor rn\rfloor$ si el medida de irracionalidad $\mu(r)$ satisface $\mu(r)> 5$ y en GRH es suficiente que $\mu(r)>2$ .

Answer 2

Las matemáticas actuales pueden demostrar su resultado de forma incondicional: Si un primo $p$ satisface $\{\frac{1}{\pi} p \} > 1-\frac{1}{\pi}$ entonces es de la forma $\lfloor n \pi \rfloor$ (de hecho en puede comprobar que esta condición en la parte fraccionaria es equivalente a $p$ siendo de la forma $\lfloor \pi n \rfloor$ ). En efecto, si $\{\frac{1}{\pi} p \} > 1-\frac{1}{\pi}$ set $n = \lceil \frac{p}{\pi} \rceil$ .

Entonces $\pi n \ge \pi \frac{p}{\pi} = p$

Mientras que $\pi n < \pi (\frac{p}{\pi}+\frac{1}{\pi}) = p+1$

Por lo tanto, $\lfloor \pi n \rfloor = p$ Así que $p$ es de esta forma.

Sin embargo, se sabe que para cualquier irracional $\alpha, \{ \alpha p \}$ es denso en $[0,1]$ (de hecho equidistribuido) como $p$ varía sobre los primos. Véase, por ejemplo esta pregunta del modus operandi .

Así que no sólo podemos demostrar que hay infinitos primos de la forma $\lfloor \pi n \rfloor$ pero (¡como era de esperar!) una proporción $\frac{1}{\pi}$ de los primos son de esta forma, ya que una proporción $\frac{1}{\pi}$ de las partes fraccionarias de $\{\pi p\}$ estará en el intervalo $(1-\frac{1}{\pi},1)$