no es divisible por $2x^2 + 3x +4$ $5$

Question

Intenté por $x^2 \equiv 0, 1, 4 \pmod 5$ pero ¿cómo puedo lidiar con $3x$? Creo que este método no funciona aquí.

Answer 1

Cuando quiera deshacerse de un término de $x$ en una cuadrática, usted siempre debe tratar de completando el cuadrado! Encontramos que $$2x^2+3x+4=2((x+2)^2-2)$$ If this is $0\pmod{5}$, then so is $(x + 2) ^2-2$. But you've already pointed out that $\not\exists k\in\mathbb Z$ such that $k^2=2\pmod{5}$ por lo que es imposible.

Answer 2

La fórmula cuadrática trabaja en todos los campos cuya característica no es $2$. Desde que trabajas en $\mathbb{Z}_5$ estamos seguros.

La fórmula cuadrática da que las soluciones serían:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(4)}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{-23}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{2}}{8}_.$$

Usted puede comprobar manualmente que $\sqrt{2}$ no existe en $\mathbb{Z}_5$. Así que no tiene ninguna raíz existe en $\mathbb{Z}_5$.

Answer 3

$5$ es pequeño. Sólo podría considerar todas las posibilidades $\mod{5}$. Hay sólo un $0,1,2,3,4$. Si alguno de estos te sale $0$, entonces, puede ser posiblemente divisible por $5$. No, no. Que $f(x)=2x^2+3x+4$. Así, $x\equiv0\implies f(0)\equiv4$, $x\equiv1\implies f(1)\equiv 2+3+4\equiv4\pmod{5}$, $x\equiv2\implies f(2)\equiv8+6+4\equiv3$, $x\equiv3\implies f(3)\equiv 18+9+4\equiv 1\pmod{5}$ y finalmente $x\equiv4\implies f(4)\equiv 32+12+4\equiv3$. Una manera más rápida para hacer los cálculos sería ver que $3\equiv-2$ y $4\equiv-1$.

Answer 4

El método de trabajo. ¿Cómo lidiar con $2x^2$, de todos modos? Usted sabe que $x^2 \equiv 0, 1, 4 \pmod 5$. Tan sólo el doble de los que, como este: $0, 2, 8$, reescribir como $0, 2, 3$.

De la misma manera con $3x$, sólo tiene el triple de la $0, 1, 2, 3, 4$ conseguir $0, 3, 6, 9, 12$ que podemos reescribir como $0, 3, 1, 4, 2$.

Y, por último,$4 \equiv 4 \pmod 5$, obviamente.

Así que las posibilidades son:

• Si $x \equiv 0 \pmod 5$,$2x^2 + 3x + 4 \equiv 0 + 0 + 4 = 4$.
• Si $x \equiv 1 \pmod 5$,$2x^2 + 3x + 4 \equiv 2 + 3 + 4 = 9 \equiv 4$.
• Si $x \equiv 2 \pmod 5$,$2x^2 + 3x + 4 \equiv 8 + 6 + 4 = 18 \equiv 3$.
• Si $x \equiv 3 \pmod 5$,$2x^2 + 3x + 4 \equiv 18 + 9 + 4 = 31 \equiv 1$.
• Si $x \equiv 4 \pmod 5$,$2x^2 + 3x + 4 \equiv 32 + 12 + 4 = 48 \equiv 3$.

Como no hemos podido encontrar una $0$ de esta forma, llegamos a la conclusión de que $2x^2 + 3x + 4$ nunca es divisible por $5$. No tan elegante como completar el cuadrado, pero lo suficientemente fácil para un niño a hacer.

Answer 5

Supongamos que $x\equiv 0\bmod 5$

Entonces $2x^2+3x+4\equiv4\not\equiv0\bmod 5$

Supongamos que $x\equiv 1\bmod 5$

Entonces $2x^2+3x+4\equiv 2+3+4\equiv4\not\equiv0\bmod 5$

Supongamos que $x\equiv 2\bmod 5$

Entonces $2x^2+3x+4\equiv 8+6+4\equiv 3\not\equiv0\bmod 5$

Supongamos que $x\equiv 3\bmod 5$

Entonces $2x^2+3x+4\equiv3+4+4\equiv1\not\equiv0\bmod 5$

Supongamos que $x\equiv 4\bmod 5$

Entonces $2x^2+3x+4\equiv 2+2+4\equiv 3\not\equiv0\bmod 5$

Entonces por el agotamiento de los casos posible modulo $5$, podemos concluir que el $5\not |2x^2+3x+4$