Cómo pensar intrínsecamente simplicial objetos.

Question

Parece que un conjunto simplicial debe ser pensado como un espacio de cosa, con codificación de información de construcción. El conjunto de $n$-simplicies es el conjunto de n-dimensional de piezas y el límite y la degeneración de los mapas dirá cómo encajan entre sí.

Con este punto de vista, aunque, me encuentro desconcertado acerca de cómo pensar de simplicial objetos en general. Siempre, esta es una forma válida de ver las cosas - ahora, nuestras colecciones de $n$-dim' información de sí mismos objetos de formulario en una categoría. Puedo pensar en dos posibles maneras de interpretar este:

$\bullet$ nuestro edificio/construcción ahora tiene piezas con más estructura para la estructura en sí misma. (Operaciones algebraicas, por ejemplo, dar " el movimiento de las piezas y de las interacciones.)

$\bullet$ O, $K \in \mathcal{C}^{\Delta^{op}}$ puede ser de alguna manera considerado como una construcción 'dentro de' $\mathcal{C}$. (Con la $n$-simplices formando una especie de 'los módulos de objeto' para todos los $n$.)

Entonces, son buenas maneras de mirar simplicial de los objetos? Si es así, puede usted por favor legitimar a ellos?. Si no, puede usted por favor desengañar a mí de ellos (y tal vez sugerir una alternativa)? Estoy buscando formas para intrínsecamente interpretar simplicial objetos (anillos, esquemas, etc.), sin reinterpretación de ellos en una nueva categoría (como, por ejemplo, a través de Dold-Kan tipo de resultados).

Answer 1

En mi punto de vista, pasando a simplicial objetos es todo acerca de la introducción de mayores dimensiones de la estructura, lo que nos da "margen de maniobra" para hacer algunas cosas útiles. Por ejemplo, no todos los $k$-álgebra es un servicio gratuito de $k$-álgebra (es decir, un polinomio de álgebra $k$), pero cada $k$-álgebra es débilmente homotopy equivalente a un simplicial $k$-álgebra que es degreewise libre. La construcción es esencialmente un no-aditivo versión de la construcción de la libre resoluciones en álgebra homológica: una manera de pensar en la de mayores dimensiones de los datos es la relación de $(n+1)$-simplices como la especificación de las "relaciones" entre el $n$-simplices.

Hay un sentido preciso en que debemos pensar en simplicial objetos como las instrucciones para el encolado de las cosas. Deje $\mathcal{C}$ ser un local pequeño de la categoría con colimits para contables diagramas. La realización geométrica de un objeto simplicial $X_{\bullet}$ $\mathcal{C}$ con respecto a un functor $T : \mathbf{\Delta} \times \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ es el objeto de $\left| X \right|$ $\mathcal{C}$ equipada con un bijection $$\mathcal{C} (\left| X \right|, Y) \cong [\mathbf{\Delta}^\mathrm{op} \times \mathbf{\Delta}, \mathbf{Set}] (\mathbf{\Delta} (-, \bullet), \mathcal{C} (T (-, X_{\bullet}), Y))$$ que es natural en $Y$ donde $\mathbf{\Delta} (-, \bullet) : \mathbf{\Delta}^\mathrm{op} \times \mathbf{\Delta}, \mathbf{Set}$ es el habitual hom functor y $T (-, X_{\bullet}) : \mathbf{\Delta} \times \mathbf{\Delta}^\mathrm{op} \to \mathcal{C}$ es el functor $(n, m) \mapsto T (n, X_m)$. Esto resulta cantidad a decir que $\left| X \right|$ encaja en un cierto coequaliser diagrama en $\mathcal{C}$ de la siguiente forma, $$\coprod_{\phi : [n] \to [m]} T (n, X_m) \rightrightarrows \coprod_n T (n, X_n) \to \left| X \right|$$ donde la flecha superior se define en los componentes de $T (\phi, X_m) : T (n, X_m) \to T (m, X_m)$ y la flecha inferior se define en los componentes de $T (n, \phi^*) : T (n, X_m) \to T (n, X_n)$.

La elección de $T : \mathbf{\Delta} \times \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ depende del contexto. Por ejemplo, para $\mathcal{C} = \mathbf{Top}$, tomamos $T (n, Z) = \Delta^n \times Z$ donde $\Delta^n$ es el estándar $n$-simplex. Si $\mathcal{C}$ es la categoría de simplicial objetos en un local pequeño de la categoría $\mathcal{A}$ con contables colimits, entonces es estándar para tomar $T (n, Z)_m = \mathbf{\Delta} (m, n) \odot Z_m$ ($\mathbf{\Delta} (m, n)$- muchas copias de $Z_m$). En esta situación, simplicial objetos en $\mathcal{C}$ son bisimplicial objetos en $\mathcal{A}$, y resulta que para cualquier bisimplicial objeto de $X_{\bullet, \bullet}$$\mathcal{A}$, la realización geométrica está dada por $\left| X \right|_n = X_{n, n}$. Por lo tanto, si $X_{\bullet, \bullet}$ es un simplicial diagrama de "buena" simplicial objetos en $\mathcal{A}$, $\left| X \right|_{\bullet}$ es también una "buena" objeto simplicial en $\mathcal{A}$. Esa es una razón por la que no tenemos que pasar a bisimplicial objetos para resolver simplicial objetos.

Si eso aún es demasiado abstracto, puede ser útil para centrarse en el caso de simplicial objetos en el álgebra. Deje $\mathcal{A}$ ser una categoría con un "olvidadizo" functor $U : \mathcal{A} \to \mathbf{Set}$ y deje $\mathbf{s} \mathcal{A}$ ser la categoría de simplicial objetos en $\mathcal{A}$. Por supuesto, tenemos una "olvidadizo" functor $U : \mathbf{s} \mathcal{A} \to \mathbf{sSet}$, por lo que podemos declarar una morfismos en $\mathbf{s} \mathcal{A}$ ser un débil equivalencia si su imagen en $\mathbf{sSet}$ es un débil homotopy de equivalencia. Si $U : \mathcal{A} \to \mathbf{Set}$ ha dejado adjoint $F : \mathbf{Set} \to \mathcal{A}$, $U : \mathbf{s} \mathcal{A} \to \mathbf{sSet}$ también ha dejado adjoint $F : \mathbf{sSet} \to \mathbf{s} \mathcal{A}$. Pensamos en los objetos en la imagen de $F : \mathbf{Set} \to \mathcal{A}$ como "libre" de los objetos. En este punto, es fácil mostrar que cada objeto $A$ $\mathcal{A}$ puede ser resuelto por un degreewise "libre" simplicial objeto, es decir, hay una débil equivalencia $X_{\bullet} \to A$ $\mathbf{s} \mathcal{A}$ donde $X_{\bullet}$ es un simplicial objeto de tal manera que cada una de las $X_n$ es un "free" objeto. Por otra parte, en condiciones favorables de contextos (por ejemplo, cuando se $U : \mathcal{A} \to \mathbf{Set}$ factores a través de los desmemoriados functor $\mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}$, o un poco más generalmente, cuando se $U : \mathbf{s} \mathcal{A} \to \mathbf{sSet}$ factores a través de toda la subcategoría de Kan complejos), se puede demostrar que $F : \mathbf{sSet} \to \mathbf{s} \mathcal{A}$ conserva débil equivalencias, y entonces se sigue que cada objeto simplicial en $\mathcal{A}$ puede ser resuelto por un degreewise "libre" objeto simplicial.

Answer 2

Suponga que la noción de "objeto" es internalizable en arbitraria topoi. Este es casi siempre el caso. A continuación, un objeto simplicial de un determinado tipo es por lo general (siempre?) un objeto de un determinado tipo interno para el topos de simplicial conjuntos. Por ejemplo, un simplicial grupo es un grupo de internos para el topos de simplicial conjuntos. Un simplicial módulo (más de un simplicial anillo) es un módulo interno para el topos de simplicial conjuntos (más de un anillo interior). Antes de la lucha con los problemas técnicos de simplicial grupos, tratar de pensar acerca de los grupos internos arbitraria de las categorías, y algunos (no todos, por supuesto!) las dificultades que va a desaparecer.