El fenómeno de la closedness condiciones, cerrado correspondiente a las clases, y el cierre de las generaciones es bastante común en las matemáticas. A menudo, usted tiene una definición como "una clase de algunos de los objetos que se llama algo si es cerrado bajo las operaciones siguientes". Por ejemplo:
- La topología es una colección de conjuntos cerrado bajo intersecciones finitas y arbitraria de los sindicatos.
- Un subespacio lineal es un conjunto cerrado bajo el aditivo de operaciones del grupo y bajo la multiplicación por escalares. Más en general, una subalgebra (en el sentido de álgebra universal) es un subconjunto de un álgebra cerrado bajo las operaciones en que el álgebra.
- Una variedad algebraica es una clase de algrebras cerrado en tomar subalgebras, productos, y homomórfica imágenes.
- La equivalencia es un conjunto de pares cerrado bajo la diagonal, symetrization y la transitividad.
- Y aquí hemos establecido álgebras, σ-álgebras, y la monotonía de las clases, y tenemos en cuenta las operaciones de complemento y finito, countably infinito, monotono y contables infinito de la unión y la intersección.
Para todos esos propeties sostiene que la intersección de cualquier colección de cerrado de las clases es un cerrado de la clase, así que para cualquier clase puede considerar el más pequeño cerrado de la clase que contiene la clase base de la intersección de todos los cerrados de las clases que contiene la clase base. Esto puede ser llamado el cerrado de la clase generada por la clase base (por ejemplo, lineal subespacio generado por un conjunto, σ-álgebra generada por una colección de conjuntos).
Podemos ver la generación de dos maneras: el "exterior" de manera, que más adecuado como una definición – como he dicho, hemos de considerar la intersección de todos los cerrados de las clases que contiene la clase base. A menudo utilizamos la siguiente idea: si una clase contiene la clase base y se cierra, a continuación, contiene el cerrado de la clase generada por la clase base.
Que se podría llamar de otra manera "interna": de empezar con la clase base y considerar los resultados de las operaciones con los argumentos de la clase base que necesita para agregar estos elementos, por lo que añadir. Pero la resultante de la clase no tiene que ser cerrado a partir de ahora tenemos más argumentos y por lo tanto más de los posibles resultados, por lo que tenemos que recorrer en esta construcción de la adición de los elementos requeridos. Después, posiblemente, transfinitely muchos pasos, la construcción se estabiliza y hemos generado cerrado de la clase. Por ejemplo, en los vectores de los espacios, si tenemos en cuenta todo finito de sumas juntos, la construcción se estabiliza después de un paso – una combinación lineal de las combinaciones lineales es sólo una combinación lineal. En el caso de sigma-álgebras, tenemos un número finito de operaciones, pero los sindicatos y/o intersecciones son countably infinito de operaciones, por lo que usted puede necesitar hasta a $ω_1$ pasos.
Ahora, puede suceder que el cierre de bajo alguna condición conserva anterior closedness bajo otra condición, que es el caso aquí. Queremos mostrar que cuando se comienza con un álgebra y cierre bajo y monótono contables de uniones e intersecciones, ya obtenemos closedness bajo todos contables de los sindicatos y de las intersecciones y la closedness bajo complemento se conserva.
Observamos que ya queremos tener complemento, es suficiente para demostrar closedness bajo contables de los sindicatos o simplemente closedness bajo contables de las intersecciones. También, ya que cada contables de la unión es un mononote contables de la unión finita de los sindicatos (y lo mismo para las intersecciones), es suficiente para demostrar que la monotonía de cierre conserva closedness bajo complementa y bajo finito sindicatos y/o intersecciones, es decir, que conserva la propiedad de ser un álgebra.
Para demostrar que hay dos maneras (por supuesto, compartir la propiedad fundamental) – la manera en la prueba corresponde al exterior de la forma de generación – queremos mostrar que el generado por la monotonía de la clase es cerrada bajo complementa, por lo tanto consideramos que los argumentos de que es verdad y demostrar que esto es en el hecho de que toda la clase – por que demuestra que es una monotonía de la clase y por lo tanto que contiene la clase generada (este es el truco habitual).
La otra manera basados en el interior de la vista es mostrar que el deseado closedness se conserva en cada paso de cierre debajo de la otra condición(s). Ya que las operaciones se quiere conservar son finitary, estamos en el límite de pasos, por lo que es suficiente para mostrar: si tenemos una clase cerrada bajo complementa, a continuación, la clase de todos los monotono contables de los sindicatos y intersetions también es cerrado bajo la complementa.
Ambas formas se reducen a la observación, que puede cambiar el orden de las operaciones: en primer lugar la formación de una monotonía counable de la unión y, a continuación, los complementos (que puede ser potencialmente peligroso) es lo mismo que tomar primero los complementos y, a continuación, la formación de los contables de intersección (que es seguro puesto que la clase base es cerrado bajo complementa).
Esto fue bastante fácil para los unarios el funcionamiento del complemento. Para la operación binaria de intersección (o, equivalentemente, de la unión), se necesitan más pasos o casos. En el exterior de la forma en que se presentan, consideramos que la primera argumentos de que la propiedad que tiene para todos los segundo de los argumentos de la clase base, y es que consideramos que todos los argumentos de derecho tal que la propiedad se mantiene para cada primer argumento de toda la clase generada. Esto podría ser generalizado a $n$-ary operación.
Alternativamente, se tendría que observar que para monotono sequenses $A, B$ hemos
- $\bigcap_{i = 1}^∞ A_i ∩ \bigcap_{j = 1}^∞ B_i = \bigcap_{i = 1}^∞ (A_i ∩ B_i)$,
- $\bigcap_{i = 1}^∞ A_i ∩ \bigcup_{j = 1}^∞ B_i = \bigcup_{j = 1}^∞ ((\bigcap_{i = 1}^∞ A_i) ∩ B_j) = \bigcup_{j = 1}^∞ \bigcap_{i = 1}^∞ (A_i ∩ B_j)$,
- $\bigcup_{i = 1}^∞ A_i ∩ \bigcup_{j = 1}^∞ B_i = \bigcup_{i = 1}^∞ (A_i ∩ B_i)$.
De nuevo, en ambos sentidos la idea principal es cambiar el orden de las operaciones para estar seguro.
Para resumir,
- estamos en una situación general de la generación de clases cerradas en algunas operaciones.
- Somethimes necesitamos observar que el cierre en algunas opeartions preservar closedness en algunas otras operaciones, por lo que la generación algo más cerrado puede ser más fácil cuando estamos empezando con algo ya cerrado hasta cierto punto.
- Para probar la preservación tenemos que mostrar que el orden de las operaciones puede ser cambiado para todas las operaciones deseadas y situaciones.
