Referencia para una fórmula derivado de matrices

Question

He encontrado la siguiente identidad:

$$ \frac{\partial( \det (X^T A X ))}{\partial X} = 2\det(X^TAX)AX(X^TAX)^{-1} $$

en la matriz de libro de cocina. Es la ecuación 47 en la página 8. Tenga en cuenta que $X$ $n \times m$ matriz y $A$ es simétrica $n \times n$ matriz.

Yo no podía encontrar la identidad en sus referencias citadas. ¿Alguien sabe de un libro de texto o el papel que tiene esta identidad?

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NOTA: hice esta pregunta en Mathoverflow y se le aconsejó volver a publicar aquí.

Answer 1

Por supuesto que debe asumir la $X^T A X$ es invertible para esta ecuación a tener sentido.

Tome $\tilde{X} = X + t Y$. Entonces $$\eqalign{\tilde{X}^T \tilde{X} de {Y= X^T X + t (Y^T a X + X^T T T T T) + O(t^2)\cr &= \left(I + t (Y^T a X + X^T T T T T)(X^T X)^{-1}\right) X^T a X + O(t^2)\cr}$$ así $ \det(\tilde{X}^T A \tilde{X}) = \det(I + tM) \det(X^T A X) + O(t^2)$ donde $M = (Y^T A X + X^T A Y)(X^T A X)^{-1}$. Ahora $\det(I+tM) = \det(\exp(tM)) + O(t^2) = \exp(\text{tr}(tM)) + O(t^2) = 1 + t\; \text{tr}(M) + O(t^2)$. Tenemos $$ \eqalign{\text{tr}(M) &= \text{tr}(Y^T X (X^T X)^{-1} + X^T T T T T (X^T X)^{-1})\cr &= \text{tr}(Y^T X (X^T X)^{-1}) + \text{tr}((X^T X)^{-1} X^T T T T T)\cr Y= 2 \text{tr}(Y^T X (X^T X)^{-1})}$$ Tomando $Y = E_{ij}$, la matriz de con $1$ en la entrada $(i,j)$ $0$ todas partes, esto dice $$ \frac{\partial}{\partial X_{ij}} \det(X^T A X) = 2 \text{tr}(E_{ji} A X (X^TAX)^{-1}) \det(X^T A X) = 2 \det(X^T A X) (A X (X^T A X)^{-1})_{ij} $$ cual es el significado de $$ \frac{\partial}{\partial X} \det(X^T A X) = 2 \det(X^T A X) A X (X^T A X)^{-1} $$

Answer 2

La fórmula solicitada es absolutamente incorrecta. Que $\phi:X\rightarrow X^TAX=U\rightarrow \det(X^TAX)$. La hipótesis $X^TAX$ invertible es inútil. $U'_X:H\rightarrow 2X^TAH$ y $\phi'(X):H\rightarrow tr(adj(U)U'(H))$ (donde $adj(U)$ es el adjunto clásico de $U$). Finalmente $\phi'(X)(H)=2tr(adj(X^TAX)X^TAH)$. En particular $\phi'(X)=0$iff $adj(X^TAX)X^TA=0$.