No podía hacer ningún progreso en este problema, puede alguien ayudar?
Encontré es el mismo: encontrar todos los números enteros $a,b,c$ tal divide a que $ab+bc+ca$ $a^2+b^2+c^2$.
Encontré una solución $a=-b=1$ y $c$ cualquier número entero.
¿Alguna solución más?
No se dio cuenta de esta pregunta. La ecuación de diophantine $$ x^2 + y^2 + z^2 = B (yz + zx + xy) $$ ha entero de soluciones de $(x,y,z)$ no todos iguales a cero (y negativo)), si alguno sólo si se puede expresar tanto $$ B-1 = u_1^2 + 3 v_1^2, $$ $$ B+2 = u_2^2 + 3 v_2^2 $$ todos en números enteros. Los valores que se trabajan son $$ B = 1,2,5,10, 14,... $$
See
$x^2+y^2+z^2=5(xy+yz+zx)$ -- Is this all solutions?
and my several answers at
Find a solution: $3(x^2+y^2+z^2)=10(xy+yz+zx)$
examples for $B = 5,10,14.$ For $B = 5$ tomamos los tres valores $$ ( 5 u^2 + 9 uv + 3 v^2, 3 u^2 -3 uv - v^2, - u^2 + uv + 5 v^2 ). $$ A continuación, tomar el triple en la disminución de valor absoluto. Por último, si el primero es negativo, negativo a los tres. El resultado es una lista que no es demasiado repetitivo, con $x \geq y \geq |z|,$ porque $y$ resulta ser positivo en esta receta. A veces $z$ también es positiva, no a menudo. Oh, buen regla, vamos a tomar $u,v \geq 0.$
./isotropy_binaries_combined 1 5 300 | sort -n
x y z u v
5 3 -1 < 5, 9, 3 > 1 0
17 5 -1 < 5, 9, 3 > 1 1
41 5 3 < 5, 9, 3 > 2 1
59 47 -15 < 5, 9, 3 > 1 3
75 17 -1 < 5, 9, 3 > 3 1
89 83 -25 < 5, 9, 3 > 1 4
101 47 -15 < 5, 9, 3 > 2 3
111 17 5 < 5, 9, 3 > 3 2
129 125 -37 < 5, 9, 3 > 1 5
173 59 -15 < 5, 9, 3 > 5 1
185 131 -43 < 5, 9, 3 > 2 5
185 167 -51 < 5, 9, 3 > 1 6
201 83 -25 < 5, 9, 3 > 3 4
215 41 3 < 5, 9, 3 > 4 3
227 41 5 < 5, 9, 3 > 5 2
237 89 -25 < 5, 9, 3 > 6 1
251 215 -67 < 5, 9, 3 > 1 7
255 131 -43 < 5, 9, 3 > 3 5
293 255 -79 < 5, 9, 3 > 2 7
x y z u v
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Para $B=10,$ tomamos $$ ( 5 u^2 + 8 uv + 2 v^2, 2 u^2 -4 uv - v^2, - u^2 + 2 uv + 5 v^2 ). $$
./isotropy_binaries_combined 1 10 300 | sort -n
x y z u v
5 2 -1 < 5, 8, 2 > 1 0
29 23 -10 < 5, 8, 2 > 1 2
38 5 -1 < 5, 8, 2 > 2 1
50 47 -19 < 5, 8, 2 > 1 3
71 5 2 < 5, 8, 2 > 3 1
86 53 -25 < 5, 8, 2 > 2 3
101 23 -10 < 5, 8, 2 > 3 2
134 95 -43 < 5, 8, 2 > 1 5
167 29 -10 < 5, 8, 2 > 5 1
173 95 -46 < 5, 8, 2 > 3 4
191 125 -58 < 5, 8, 2 > 1 6
194 53 -25 < 5, 8, 2 > 4 3
215 146 -67 < 5, 8, 2 > 3 5
230 47 -19 < 5, 8, 2 > 6 1
263 50 -19 < 5, 8, 2 > 5 3
269 230 -97 < 5, 8, 2 > 2 7
290 149 -73 < 5, 8, 2 > 4 5
x y z u v
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
For $B=14,$ tomamos $$ ( 3 u^2 + 6 uv + 2 v^2, 2 u^2 -2 uv - v^2, - u^2 + 3 v^2 ). $$ No $uv$ plazo en la tercera forma. Vaya Usted A Saber.
./isotropy_binaries_combined 1 14 300 | sort -n
x y z u v
3 2 -1 < 3, 6, 2 > 1 0
11 2 -1 < 3, 6, 2 > 1 1
23 11 -6 < 3, 6, 2 > 1 2
26 3 -1 < 3, 6, 2 > 2 1
47 11 -6 < 3, 6, 2 > 3 1
59 47 -22 < 3, 6, 2 > 1 4
66 23 -13 < 3, 6, 2 > 2 3
71 3 2 < 3, 6, 2 > 3 2
74 23 -13 < 3, 6, 2 > 4 1
83 74 -33 < 3, 6, 2 > 1 5
107 39 -22 < 3, 6, 2 > 5 1
111 107 -46 < 3, 6, 2 > 1 6
122 71 -37 < 3, 6, 2 > 2 5
131 39 -22 < 3, 6, 2 > 3 4
138 11 -1 < 3, 6, 2 > 4 3
146 143 -61 < 3, 6, 2 > 1 7
146 59 -33 < 3, 6, 2 > 6 1
167 66 -37 < 3, 6, 2 > 3 5
183 11 2 < 3, 6, 2 > 5 3
191 179 -78 < 3, 6, 2 > 1 8
191 83 -46 < 3, 6, 2 > 7 1
194 143 -69 < 3, 6, 2 > 2 7
218 59 -33 < 3, 6, 2 > 4 5
227 23 -6 < 3, 6, 2 > 5 4
239 66 -37 < 3, 6, 2 > 7 2
242 111 -61 < 3, 6, 2 > 8 1
242 219 -97 < 3, 6, 2 > 1 9
251 138 -73 < 3, 6, 2 > 3 7
282 239 -109 < 3, 6, 2 > 2 9
291 47 -22 < 3, 6, 2 > 7 3
299 183 -94 < 3, 6, 2 > 3 8
299 263 -118 < 3, 6, 2 > 1 10
x y z u v
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Para $B = 29$ necesitamos dos parametrizaciones;
$$ ( 23 u^2 + 49 u v + 17 v^2, 17 u^2 -15 u v -9 v^2, -9 u^2 -3 u v + 23 v^2)$$
$$ ( 27 u^2 + 45 u v + 11 v^2, 11 u^2 -23 u v -7 v^2, -7 u^2 + 9 u v + 27 v^2) $$
./isotropy_binaries_combined 1 29 1111 | sort -n
x y z u v
23 17 -9 < 23, 49, 17 > 1 0
27 11 -7 < 27, 45, 11 > 1 0
83 29 -19 < 27, 45, 11 > 1 1
89 11 -7 < 23, 49, 17 > 1 1
207 29 -19 < 23, 49, 17 > 2 1
209 17 -9 < 27, 45, 11 > 2 1
263 261 -121 < 27, 45, 11 > 1 3
323 189 -109 < 23, 49, 17 > 1 3
371 99 -67 < 23, 49, 17 > 3 1
389 23 -9 < 27, 45, 11 > 3 1
461 383 -193 < 27, 45, 11 > 1 4
477 269 -157 < 27, 45, 11 > 2 3
491 347 -187 < 23, 49, 17 > 1 4
539 153 -103 < 23, 49, 17 > 2 3
557 99 -67 < 27, 45, 11 > 3 2
569 27 -7 < 23, 49, 17 > 3 2
693 551 -283 < 23, 49, 17 > 1 5
833 737 -361 < 27, 45, 11 > 2 5
911 153 -103 < 27, 45, 11 > 5 1
929 801 -397 < 23, 49, 17 > 1 6
959 477 -289 < 27, 45, 11 > 3 4
1007 509 -307 < 23, 49, 17 > 2 5
1019 693 -379 < 27, 45, 11 > 1 6
1067 251 -171 < 23, 49, 17 > 3 4
1071 239 -163 < 27, 45, 11 > 4 3
1109 27 11 < 23, 49, 17 > 4 3
x y z u v
Sí, hay un montón de soluciones. Estos son los $f<g<h\le102$ y $\gcd(f,g,h)=1$. $$ {1,4,9} \\ {1,9,16} \\ {1,25,36} \\ {1,36,49} \\ {1,49,64} \\ {1,64,81} \\ {1,81,100} \\ {2,3,71} \\ {2,5,71} \\ {3,5,41} \\ {4,9,25} \\ {4,25,49} \\ {4,49,81} \\ {9,16,49} \\ {9,25,64} \\ {9,49,100} \\ {16,25,81} $$ Mathematica código utilizado:
fmax = 100;
Do[
If[GCD[f, g, h] != 1, Continue[]];
If[Mod[f^2 + g^2 + h^2, f g + g h + h f] == 0, Print[{f, g, h}]],
{f, fmax}, {g, f + 1, fmax + 1}, {h, g + 1, fmax + 2}
]
Desde $(a+b+c)^2 = 2(ab+ac+bc)+(a^2+b^2+c^2)$, si #% $ de %#% y $$ (a+b+c)^2 = k(ab+ac+bc), \tag{1}$, y $k\geq 2$ tenemos solamente la solución trivial $k=2$.
Suponiendo que $(a,b,c)=(0,0,0)$, tenemos: $k=3$ $ y por Cauchy-Schwarz desigualdad $$ a^2+b^2+c^2 = ab+ac+bc \tag{2}$ sostiene solamente para $(2)$.
Suponiendo que $a=b=c$ tenemos la solución paramétrica: $k=4$ $ así que hay un montón de soluciones y más aún puede ser computado por Vieta saltando.
Markov triples están profundamente relacionados.
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