Verificación de la prueba: los poderes de un elemento de grupo de orden finito son distintos

Question

Por fin estoy intentando conquistar D&F (3ª ed) y quiero construir una buena prueba de hábitos y corregir errores desde el principio. Aquí es el ejercicio (Ch. 1 ex. 32) y la siguiente es mi prueba.

Demostrar que para $x \in G$ donde $G$ es un grupo y $x$ tiene orden finito $n$ $1, x, x^2, \ldots, x^{n-1}$ son distintos y deducir que $|x| \leq |G|$.

Prueba. Deje $a,b \in [0,n-1]\cap \mathbb{N}$ tal que $x^a=x^b$. A continuación,$1 = x^ax^{-a}=x^bx^{-a} = x^{b-a}$. Desde $1 \leq a \lt n$ y $1 \leq b \lt n$, $b-a\lt n$. Por lo $x^{b-a}=1 \implies b-a=0$$a=b$. Desde $a$ $b$ fueron arbitrariamente elegido, $x^c$ es distinta para todos los $c \in [0,n-1] \cap \mathbb{N}$. Sabemos $x^c\in G$ todos los $c \in [0, n-1]\cap \mathbb{N}$ por la definición de grupo de cierre, y $|[0,n-1]\cap \mathbb{N}|=n$. Por lo $G$ contiene al menos $n$ elementos, y $|x|\leq |G|$.

Es esta una prueba convincente? Me siento como que podría haber algo de lógica circular, y quizás no lo suficiente detalle. Yo estaba pensando en establecer que los elementos forman un grupo cíclico, y muestran que este grupo es un subgrupo de $G$. Cualquier sugerencias o comentarios, sería muy apreciado.

Answer 1

Casi.

Afirmas $b-a < n$. Creo que quiere asumir $b \ge a$ (sin pérdida de generalidad) desde el principio, para hacer $b-a$ no negativo así. De lo contrario necesita manejar el caso cuando no lo es.

Answer 2

Lógicamente, todo se ve bien, excepto por @Ethan punto. Si usted está preocupado acerca de la circularidad, asegúrese de que usted entiende por qué su declaración "$x^{b-a} = 1 \implies b-a =0$" es cierto.

Creo notaciones como

Deje $a,b\in[0,n-1] \cap \mathbb{N}$ tal que $x^a = x^b$.

son un poco engorrosos. Personalmente, creo que sería reescribir la primera frase como

Deje $a$ $b$ ser números enteros tales que a$0 \leq a \leq b \leq n-1$$x^a = a^b$.

O tal vez incluso

Supongamos $x^a = x^b$ para algunos enteros $a$$b$$0 \leq a\leq b\leq n-1$.

En esencia, se desea mostrar $x^a = x^b \implies a=b$, por lo que escribir la primera frase de esa manera se alinea el párrafo con que instrucción lógica.

Al tener una mayor densidad de símbolos no hace más matemáticamente sofisticado argumento.

Answer 3

La prueba está perfectamente bien. ¡Buen trabajo!

Una observación: de prof me utiliza la siguiente Convención: $[0:n] := [0, n] \cap \mathbb N$.

Esto es una manera elegante de escribir tales intervalos"discretos" y hace las pruebas más legible. Sólo una idea de mí. Tal vez desea utilizar :)

Answer 4

Me confundí cuando usted trajo $c$ en la mezcla.

Aquí está la prueba con un montón de que el argumento eliminado. Creo que no me ha quitado demasiado y puede ser más fácil de seguir.

Supongamos que los poderes de la $x$ no son todas diferentes.

Entonces no existe $a,b \in [0,n-1]\cap \mathbb{N}$ tal que $b>a$$x^b=x^a$.

Esto implica que $0\lt b-a<n$, e $1=x^ax^{-a}=x^bx^{-a} = x^{b-a}$.

Puesto que el orden de $x$ es $n$, $x^{b-a}=1$ implica $n\, |\, b-a$.

Esto es una contradicción, ya que ningún número mayor que $0$ y menos de $n$ puede ser divisible por $n$.

La suposición de que los poderes de la $x$ no son todos distintos, conduce a una contradicción y por lo tanto debe ser falsa.