Una medida de Haar a través de la medida de Lebesgue en $\Bbb R^d$

Question

$\newcommand{\d}{\mathrm{d}}$ Este el Ejercicio 3, Capítulo 11 de Gerald B. Folland libro Análisis Real:

Deje $G$ ser localmente compacto grupo que es homeomórficos para abrir un subconjunto $U$ $\Bbb R^d$ de tal manera que, si nos identificamos $G$$U$, a la izquierda de la traducción es un afín mapa, es decir, $xy=A_x(y)+b_x$ donde $A_x$ es una transformación lineal de $\Bbb R^d$$b_x\in\Bbb R^d$. A continuación, $|\det A_x|^{-1}\d x$ es una izquierda Haar medida en $G$ donde $\d x$ denota la medida de Lebesgue en $\Bbb R^d$.

Quisiera saber si me entienden.

Cuál es el problema nos da es $G$ localmente compacto grupo, un conjunto abierto $U\subseteq\Bbb R^d$, y un bijection $\varphi:G\to U$ tal que $\varphi$ $\varphi^{-1}$ son continuos y satisfacer ese determinado $u\in G$ no es un operador lineal $A_{\varphi(u)}:\Bbb R^d\to \Bbb R^d$$b_{\varphi(u)}\in\Bbb R^d$, de modo que $$\varphi(uv)=A_{\varphi(u)}(\varphi(v))+b_{\varphi(u)}.$$

Esto es correcto

Si es así, definir $f:\Bbb R^d\to\Bbb [0,\infty[$ $$f(x)=|\det A_x|^{-1}\quad\text{i.e.}\quad f(x)=|\det A_{\varphi(\varphi^{-1}(x))}|^{-1}.$$

Es el problema la pregunta de si la medida de $\mu$ $G$ $$\mu(E)=\int_{\varphi(E)}f(x)\d x$ $ es una izquierda Haar medida?

Esto me recuerda a la fórmula $$\int_E f(y)\d y=|\det T|\int_{T^{-1} E} f(Tx)\d x,$$ pero no sé qué puedo hacer.

Cualquier consejo en cómo interpretar el problema o sobre cómo proceder es muy apreciada.

Answer 1

La notación $xy=A_xy+b_x$ es bastante confuso hecho. Aparece en el lado izquierdo, que $x,y\in G$; sin embargo, en el lado derecho, parece que $y\in\mathbb{R}^d$. La introducción de la homeomorphism, $\varphi:G\mapsto U\subset\mathbb{R}^d$, es la cosa correcta de hacer.

Esto es correcto

Sí, que es una reafirmación de parte de la hipótesis con la homeomorphism dada explícitamente por $\varphi$. Desde $\varphi$ es un homeomorphism, simplemente se podría escribir $$ \varphi(uv)=A_u\varphi(v)+b_u $$

Es el problema la pregunta de si la medida de $\mu$ $G$ $$\mu(E)=\int_{\varphi(E)}f(x)\d x$ $ es una izquierda Haar medida?

Desde $f(x)$ es de sentido para los $x\not\in U$, yo definiría $f:U\mapsto[0,\infty)$ por $$ f(\varphi(u))=|\det A_u|^{-1} $$ y, a continuación, defina $\mu$ como hacer arriba: $$ \begin{align} \mu(E) &=\int_{\varphi(E)}f(x)\,\mathrm{d}x \end{align} $$ Ahora tenga en cuenta que $$ \begin{align} \varphi(uvw) &=\color{#C00000}{A_{uv}}\varphi(w)+\color{#00A000}{b_{uv}}\\ &=A_u\varphi(vw)+b_u\\ &=A_u(A_v\varphi(w)+b_v)+b_u\\ &=\color{#C00000}{A_uA_v}\varphi(w)+\color{#00A000}{A_ub_v+b_u} \end{align} $$ Por lo tanto, obtenemos $A_{uv}=A_uA_v$. Por lo tanto, obtenemos $$ \begin{align} f(\varphi(uv)) &=|\det(A_{uv})|^{-1}\\ &=|\det(A_uA_v)|^{-1}\\ &=|\det(A_u)\det(A_v)|^{-1}\\ &=f(\varphi(u))f(\varphi(v)) \end{align} $$ En este punto, para mostrar la traducción de la invariancia, $$ \begin{align} \mu(uE) &=\int_{\varphi(uE)}f(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{\varphi(E)}\color{#C00000}{f(\varphi(u\varphi^{-1}(x)))}\,\color{#00A000}{\mathrm{d}(A_{u}x+b_{u^{-1}})}\\ &=\int_{\varphi(E)}\color{#C00000}{f(\varphi(u))f(x)}\color{#00A000}{|\det A_{u}|\,\mathrm{d}x}\\ &=\int_{\varphi(E)}|\det A_{u}|^{-1}f(x)|\det A_{u}|\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{\varphi(E)}f(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\mu(E) \end{align} $$