La cantidad de teoría del anillo surge simplemente de aplicar resultados grupo teórica a la estructura aditiva, o resultados facilitándole, monoid-teórica a la estructura multiplicativa? ¿Para ser más precisos, puede alguien describir cuánto impone la rigidez en la estructura de anillos el axioma distributivo que "conecta" adición y la multiplicación? ¿Cuáles son algunos ejemplos de los resultados, dicen, donde distributividad realmente juega un papel clave?
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Un ejemplo de que el axioma de distributividad añade propiedades adicionales para estructuras en forma de anillo es la siguiente:
El anillo de los axiomas con el multiplicativo de identidad axioma y sin la conmutatividad de la suma axioma ya se puede probar la conmutatividad de la suma.
Esto requiere que la propiedad distributiva.
(1 + 1)(x + y) = (1 + 1)(x) + (1 + 1)(y) = x + x + y + y
(1 + 1)(x + y) = 1(x + y) + 1(x + y) = x + y + x + y
por lo $x + y = y + x$.
Así que la distributividad de las fuerzas de la conmutatividad de la suma en el caso de que el anillo tiene una identidad multiplicativa.
Cuánto de anillo teoría surge simplemente de la aplicación de grupo de teoría de los resultados a la estructura aditiva, o semigroup/monoid de la teoría de los resultados a la estructura multiplicativa?
Casi nada. Y en cualquier caso, esto no podría ser llamado anillo de la teoría. Por ejemplo, un subgrupo finito de el grupo multiplicativo de un campo es cíclico. Esto pertenece a la teoría de grupos, no de campo o el anillo de la teoría, aunque es crucial para la teoría de campo.
Para ser más precisos, ¿alguien puede describir lo mucho que la rigidez se impone en la estructura de los anillos por la distributiva axioma de que "conecta" la suma y la multiplicación? ¿Cuáles son algunos ejemplos de resultados, es decir, donde la distributividad realmente juega un papel clave?
No hay ningún campo $K$$K^* \cong \mathbb{Z}$.
Este tipo de rigidez surge en todas partes. Acaba de tomar cualquier resultado interesante de los anillos y verás que no tiene sentido en absoluto para tratar de probar este para los pares de (abelian grupo,monoid). Así, acaba de abrir un libro de texto y podrás ver un montón de evidencia de que la distributividad juega un papel clave.
