¿Hallar el número de divisores de un número?

Question

¿Cómo puedo encontrar el número de divisores de $2011\times2012\times2013\times2014+1$ ?

Answer 1

Para cualquier $n \in \mathbb{N}$ tenemos

\begin{align} \left(n^2+3n+1\right)^2 &= n^4+6n^3+11n^2+6n+1\\\\ &=n(n+1)(n+2)(n+3)+1 \end{align}

En particular,

$$2011\cdot2012\cdot 2013\cdot 2014+1=(2011^2+3\cdot 2011 + 1)^2 = 4050155^2$$

Podemos factorizar $4050155$ dividiendo primero por $5$ y luego se da cuenta con dificultad de que $191$ es un factor, para conseguir:

$$4050155=5 \cdot 191 \cdot 4241$$

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Esto significa que el número que te interesa tiene la forma $$p^2q^2r^2$$ para los primos $p,q,r$ . Esto significa que el número de divisores es $$3^3=\boxed{27}$$

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La función de número de divisores se suele denotar $\sigma_0$ y puedes leer cómo calcularlo dada una factorización de primos aquí . $$\sigma_0\left(p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2} \cdots\right) = (a_1+1)(a_2+1)\cdots$$

Answer 2

$$2011\times2012\times2013\times2014+1 \\ =2012\times2013\times(2012-1)(2013+1)+1 \\ =2012\times2013\times(2012\times2013-2)+1 \\ =(2012\times2013)^2-2\times2012\times2013+1 \\ =(2012\times2013-1)^2$$

Answer 3

Sugerencia $\ \ \ \overbrace{n(n+3)}^{\Large\ \ x_{\phantom{I_i}}}\ \overbrace{(n+1)(n+2)}^{\Large (x+2)} + 1\, =\, x(x+2)+1\, =\, (x+1)^2 =\, (n^2+3n+1)^2$