$\lim_{n\to\infty} \frac{n!!}{(n+1)!!}=0$ Compruebe mi prueba

Question

para $a_n = \frac {n!!}{(n+1)!!}$, demuestran que, a $\lim a_n = 0$
poner a $a_n$ en logaritmo, obtenemos $$\ln a_n=\sum_{k=1}^n \ln \frac k {k+1} = -\sum_{k=1}^n \ln (1+\frac1 k)$$

por serie de taylor,

$$\ln(1+1)=\frac 1 1 - \frac 1 2 + \frac 1 3+...$$ $$\ln(1+\frac1 2)=\frac 1 2 - \frac 1 8 + \frac 1 {24}-...$$ $$...$$ $$\ln(1+\frac1 k)=\frac 1 k - \frac 1 {2k^2} + \frac 1 {3k^3}-...$$

si "$\lim \ln a_n$", $\sum_1^\infty \ln(1+\frac 1 k)$ (absolutamente) converge. así que sabemos que cualquier reordenamiento de la serie de $\ln(1+\frac 1 k)$ converge y tiene el mismo valor.

además, $\ln(1+\frac 1 k) =\sum_1^\infty\frac {(-1)^{k+1}} k$ converge absolutamente si $k>1$

así, por assuning $\ln a_n$ converge, expanda $\ln(1+\frac 1 k)$ por serie de taylor para $k>1$ y reorganizar la columna por columna. $$\sum_{k=1}^{\infty} \ln (1+\frac1 k)=(\ln2 + (\frac1 2 + \frac 1 3 + ...) - \frac 1 2 (\frac 1 4 + \frac 1 9 + ...) +\frac1 3(\frac 1 8 +\frac 1 {27} +...)+...)$$ sin embargo, el segundo término de $(\frac 1 2 + \frac 1 3 +...)$ no convergen, mientras que todos los otros términos convergen. esta contradicción demuestra que $\ln a_n$ no convergen. así tenemos

$$\lim_{n\to\infty}\ln a_n=-\sum_{k=1}^{\infty} \ln (1+\frac1 k)=-\infty$$

lo que implica $\lim a_n =0$.

1. Es esto una prueba de la correcta?
2. Me puedes dar más simple prueba?

Answer 1

Su fórmula de $a_n$ es incorrecto, porque $m!!!! = \prod_{k=0}^{\lfloor (m-1) / 2 \rfloor} $ (m-2_k). Por lo tanto $a_n = \dfrac{n!} {(n + 1)!} = \dfrac{\prod_{k=0}^{\lfloor (n-1) / 2 \rfloor} (n-2_k)} {\prod_ {k = 0} ^ {\lfloor 2 \rfloor} (n + 1-2 k)} $.

Mostrar incluso $n$ y me deje impar $n$ hasta.

$\begin{array}\\ a_{2n} &=\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\ &=\dfrac{\prod_{k=0}^{n-1} (2n-2k)}{\prod_{k=0}^{n} (2n+1-2k)}\\ &=\prod_{k=0}^{n-1} \left(\dfrac{2n-2k}{2n+1-2k}\right)\\ &=\prod_{k=0}^{n-1} \left(1-\dfrac{1}{2n+1-2k}\right)\\ &=\prod_{k=1}^{n} \left(1-\dfrac{1}{2k+1}\right) \qquad\text{ putting } n-k \text{ for } k\\ \end{matriz} $

Puesto que diverge de la $\sum \dfrac{1}{2k+1}$, el producto va a cero.

Answer 2

Tenga en cuenta que para los términos impares, tenemos

$$a_{2n-1}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$$

Usando la fórmula de Stirling, tenemos

$$\begin{align} a_{2n-1}\sim \frac{\sqrt{4\pi n}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{4^n(2\pi n)\left(\frac{n}{e}\right)^{2n}}=\sqrt{\frac{\pi}{n}} \end {Alinee el} $$

Por lo tanto, $\lim_{n\to \infty}a_{2n-1}=0$.

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También tenemos para los términos incluso

$$\begin{align} a_{2n}&=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\\\ &=\frac{1}{(2n+1)a_{2n-1}}\\\\ &\sim\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{\pi}(2n+1)}\to 0 \end {Alinee el} $$