Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios de Banach tales que $\mathcal{B}(X)$ es linealmente isomorfo a $\mathcal{B}(Y)$ (donde $\mathcal{B}(\cdot)$ denota el álgebra de operadores lineales acotados). ¿Debe ser siempre el caso que $X$ es por tanto isomorfo a $Y$ ?
Sospecho que esto no es cierto, pero no veo inmediatamente cómo presentar un contraejemplo. Seguramente, tanto si es cierto como si es falso, esto debe ser bien conocido.
Ben, la respuesta es no .
Tenga en cuenta que si $X$ es reflexivo, entonces $B(X)$ es isométrica con respecto a $B(X^*)$ a través de $T\mapsto T^*$ . Nótese que este mapa es un antiisomorfismo de las álgebras de Banach.
En cuanto a ejemplos menos triviales, $B(\ell_p)$ es un espacio de Banach isomorfo a $B(L_p)$ así como a $B(X)$ para cualquier otro separable, de dimensión infinita $\mathscr{L}_p$ -espacio y $\ell_p$ no es isomorfo a $L_p$ a menos que $p=2$ . Esto fue observado por Arias y Farmer pero supongo que ya lo sabían los peces gordos del sector.
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