Autoestudio Dummit y Foote

Question

Voy a tomarme un año sabático de mis estudios y me gustaría estudiar álgebra abstracta por mi cuenta, ya que en este momento es la mayor brecha en mi formación matemática.

Tengo una copia de Dummit y Foote con la que me gustaría estudiar, ¡sin embargo, me doy cuenta de que contiene una cantidad bastante grande de material! Me gustaría, por lo tanto, hacer una lista de temas esenciales a cubrir para que al final haya cubierto un contenido similar al de un curso de tercer año de licenciatura para matemáticos. Una cosa que me gustaría hacer si es posible es obtener una introducción a la teoría de Galois, es bastante misteriosa para mí y me encantaría familiarizarme con el tema.

Estoy (bastante desafortunadamente) en ingeniería eléctrica, aunque me estoy dirigido a hacer una maestría en matemáticas o quizás en teoría de control en el lado matemático. Por lo tanto, he tomado tantos cursos de matemáticas como he podido y he hecho algo de autoestudio, por lo que creo que ahora tengo un grado razonable de madurez matemática (análisis real, topología, geometría diferencial, álgebra lineal por supuesto, probabilidad y estadística, matemáticas discretas, etc.). Desafortunadamente, no puedo tomar tantos cursos de matemáticas puras como un estudiante de matemáticas, por eso quiero estudiar álgebra abstracta por mi cuenta.

Sé que este es un proyecto ambicioso pero estoy bastante motivado, ¡así que cualquier consejo es muy apreciado!

Answer 1

Realmente hice esto, así que tengo algo de experiencia con Dummitt y Foote que me gustaría compartir. Primero, si no estás comprometido con D&F, sino que simplemente buscas una buena base en álgebra moderna, podría inclinarme a recomendar un libro diferente. Permíteme contarte algunos pros y contras sobre esta biblia del álgebra.

Pros:

• Montones de ejemplos resueltos. Cada capítulo tiene alguna teoría general, seguida normalmente por aproximadamente media docena de ejemplos explícitos. Es realmente bueno hacer estos ejemplos por tu cuenta, y luego leer cómo los hace el libro, o leerlos en el libro y luego intentar ejemplos modificados por ti mismo y ver si puedes seguir las mismas ideas. Otra cosa útil es intentar trabajar algunos ejemplos mientras lees los teoremas. Nada de esto es único para D&F, sino simplemente un buen consejo para leer cualquier libro de matemáticas, pero es especialmente importante para D&F por razones que explicaré a continuación.

• Un billón y dos ejercicios. Esto es imprescindible para álgebra, por la misma razón. Practica, practica, practica. Los problemas van desde rutinarios hasta difíciles (pero ninguno es tan difícil que no pudiera resolverlo, si te gusta que te desafíen mucho es posible que no te guste esto del libro). Los primeros doce capítulos tienen soluciones en línea (busca en Google 'project crazy project'). Esto no incluye el tema de teoría de Galois que te interesa potencialmente, pero sí incluye todo hasta el tema de módulos sobre DIP, si recuerdo correctamente.

• Cubre casi todo lo que uno podría querer saber. Realmente es una enciclopedia de álgebra, a un nivel bastante accesible; no tiene el nivel de formalismo que tienen otros libros, como el de Lang. No se requiere conocimiento de categorías para aprender del texto, y cuando se introducen en la discusión sobre productos tensoriales, se incluyen todas las nociones relevantes.

Contras:

• ES LITERALMENTE ENORME. Intentar terminar siquiera una parte sustancial de él (mucho menos todo) es una tarea casi imposible. Estudié de él durante un año cuando era estudiante universitario (probablemente menos avanzado de lo que eres tú ahora) y solo llegué a aproximadamente 9 capítulos.

• Muchos de los capítulos posteriores contienen cosas que no son parte de un curso típico de primer año. La secuencia de dos semestres de álgebra en mi universidad abarca hasta el tema de teoría de Galois y campos, que son como 13 o 14 capítulos, y salta bastante (y omite por completo algunos temas), sin embargo, el libro tiene más de 20 capítulos.

• El estilo de Dummit y Foote es un poco engañoso. No hacen un muy buen trabajo en delimitar qué teoremas son fundamentales para que entiendas y cuáles son solo 'resultados' que pueden surgir y querer saber. En mi opinión, por ejemplo, los grupos nilpotentes, los productos semidirectos y otros contenidos de los capítulos posteriores sobre teoría de grupos no son particularmente importantes para entender las ideas básicas de teoría de grupos, los teoremas de isomorfismo, las acciones de grupo y la teoría de Sylow, etc.

Realmente me gusta el libro de Dummit y Foote. Pero no es el libro definitivo que algunos profesores hacen ver que es. Hay otros libros muy buenos que contienen otras perspectivas útiles y están en una variedad de niveles. Así que mi consejo es usar D&F como una lista de temas en álgebra, y una gran fuente de ejercicios y ejemplos, mientras buscas otras referencias en las áreas que te gusten. El álgebra moderna es un campo increíblemente grande; literalmente es una de las tres ramas principales de las matemáticas; que no hay esperanza de aprender todo, al menos en esta etapa. Así que úsalo como punto de partida y como trampolín hacia las áreas del álgebra que te interesen. Idealmente podrías seguir un plan de estudios de algún otro lugar, al menos hasta que sientas que tienes una idea de la dirección, y luego simplemente buscar muchas referencias en línea utilizando capítulos o secciones particulares de D&F como punto de partida. Un capítulo dado de D&F se puede leer (con muchos ejercicios realizados) en cualquier lugar de una semana a dos semanas, dependiendo de tu tiempo y madurez. Esta es una excelente manera de obtener exposición a algunas ideas y ayudarte a pensar en ramificar en otras direcciones.

Aquí tienes una breve lista de otros textos que me gustan para aprender sobre álgebra que pueden servir como referencias útiles.

1) Capítulo 0. Este libro es mi introducción favorita al álgebra. Incluye muchos temas interesantes no presentes en otros libros, y utiliza teoría de categorías a lo largo de todo (tiene un primer capítulo para presentarte a ella) y es de lejos el libro de álgebra más amistoso que he usado. Como resultado, es un poco lento, pero siempre puedes pasarlo rápidamente solo por su perspectiva mientras trabajas desde D&F. La perspectiva de las propiedades universales es realmente esencial para cómo los álgebraistas hacen álgebra, y por lo tanto es inmensamente útil llevarla contigo mientras aprendes. También es el único libro que he visto que es legible por un estudiante universitario que realmente discute algún álgebra homológica, los otros en esta lista (y D&F, si recuerdo bien) la discuten, pero desde luego es más difícil de leer. Incluso hay una breve discusión al final sobre categorías derivadas y sucesiones espectrales, que ciertamente son temas avanzados.

2) "Álgebra Abstracta" de Grillet. Similar a Dummit y Foote, pero un poco menos masivo. Si trabajaras con algo así, podrías llegar a la teoría de Galois mucho más rápido. Por otro lado, no tiene la abundancia de ejemplos y problemas, pero la exposición es clara y concisa. Los capítulos posteriores van en una dirección diferente a la de D&F, avanzando hacia cosas más homológicas y terminando con un capítulo sobre álgebra universal. Estos capítulos, además de los capítulos posteriores de D&F sobre teoría de la representación, podrían revisarse para ver qué llama tu atención.

Hay una gran cantidad de otros libros que son bien considerados, pero no puedo dar muchos comentarios sobre ellos. Rotman, Jacobson, Lang, etc. Cualquiera o todos estos deberían utilizarse en paralelo con el libro de D&F para sacarles el máximo provecho a todos.