Cómo demostrar este $\frac{af(a)+bf(b)}{a+b}\ge f(a+b)$

Question

Supongamos que $f(x)$ tiene dos derivados en $(0,2)$ y $0<a<b<a+b<2$.

Tengo que probar que, si $f(a)\ge f(a+b)$ y $f''(x)\le 0$, entonces:

$$\dfrac{af(a)+bf(b)}{a+b}\ge f(a+b).$$

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Creo que también tenemos

$$f(b)\ge f(a+b)$$ so $$af(a)+bf(b)\ge af(a+b)+bf(a+b)=(a+b)f(a+b)$$

Pero si este es cierto, entonces podemos probarlo.

Answer 1

$f$ es una función cóncava en virtud de la $f''(x)\leq 0$.

Suponiendo que $f(b)<f(a+b)$, en algún lugar entre $b$y $a+b$ $f'(\xi)>0$ debemos tener.

Por otra parte, en algún lugar entre $a$y $b$ tenemos $f'(\eta)<0$, desde $f(a)>f(b)$.

Así, en algún lugar entre $\eta$y $\xi$ tenemos $f''(\nu)>0$, contradicción.

Esto prueba $f(b)\geq f(a+b)$.

Answer 2

¡$l(x)=cx+d$ Ser la línea que pasa a través de puntos de $(a,f(a))$ y $(a+b,f(a+b))$.

Como $f(a)\ge f(a+b)$(therefore $l(a)\ge l(a+b)$) we have that for every $a\le x\le a + b$ $l(x)\ge l(a+b)$,in particular $l(b)\ge l(a+b)$.

Pero puesto que $f$ es cóncava $f(b)\ge l(b)\ge l(a+b)= f(a+b).$