¿Que puede demostrar que un número triangular no puede ser un cubo, el cuarto poder o el quinto poder?

Question

Triangular números (Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number )

son números de la forma $$\frac{n(n+1)}{2}$$

En ProofWiki he encontrado tres afirmaciones acerca de los números triangulares. Las tres afirmaciones son que un triangular número no puede ser un cubo, no es un cuarto poder, y no a la quinta potencia. Por desgracia, ninguno de los dos era una prueba dada, ni tampoco me las arreglo para hacerlo yo mismo. Por lo tanto mi qeustions :

¿Alguien sabe que una prueba de que un triangular número no puede ser un cubo, un cuarto poder, o un quinto poder ?

Answer 1

En primer lugar, aviso $n$ y $n+1$ son coprimos. Y si el producto de números coprimos es una potencia n-ésima entonces ambas son también potencias de n-ésimo. Ahora divida el problema en el caso de que $n$ pares e impares. $$n=2t$ $ $$t(2t+1)=a^b$ $ Entonces $t$ y $2t+1$ son los poderes de b-ésimo. Let $t=y^b$, $2t+1=x^b$. A continuación, $$x^b-2y^b=1$ $ aplicando las mismas sustituciones para el caso donde es raro que encontrar $n$ $ en esta respuesta Keith Conrad demuestra que la única solución es $$x^b-2y^b=-1$, $x=1$, que $y=0$ $n=0$.

Answer 2

Este problema fue rematado (para poderes arbitrarios) en un papel de Gyory en 1997 (Acta Arithmetica): http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa80/aa8038.pdf allí no están soluciones inesperadas. La prueba atrae a Darmon y de Merel resultado en la ecuación de $x^n+y^n=2z^n$ (aunque con cierto cuidado, debería ser posible hoy en día probarlo usando sólo formas lineales en logaritmos).