Ejemplos de secuencias de funciones en C[0,1] que son Cauchy pero no convergentes

Question

Para entrenar mejor mi intuición, ¿cuáles son algunos ejemplos ilustrativos de secuencias de funciones en C[0,1] que son Cauchy pero no convergen bajo la norma integral?

Answer 1

Puede obtener ejemplos considerando elementos de $L^1[0,1]$ que no son iguales en casi todas partes a cualquier función continua, y considerando secuencias de funciones continuas convergentes en el $L^1$ a estas funciones discontinuas. Dado que las secuencias convergentes son Cauchy y $L^1$ son únicos hasta la igualdad en casi todas partes, tales secuencias serán Cauchy y no convergentes en $C[0,1]$ .

Por ejemplo $f$ sea $1$ en $[0,\frac{1}{2}]$ et $0$ en otro lugar. Deja que $f_n$ sea la función continua que es $1$ en $[0,\frac{1}{2}]$ , $0$ en $[\frac{1}{2}+\frac{1}{n},1]$ y lineal en $[\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\frac{1}{n}]$ . Entonces porque $f_n\to f$ en $L^1$ , $(f_n)$ es Cauchy. (La cauchicidad también es fácil de verificar directamente.) Si existiera una función límite $g\in C[0,1]$ Tendrías $g=f$ a.e.. Pero esto es imposible, porque los límites izquierdo y derecho en $\frac{1}{2}$ no estaría de acuerdo.

De forma más general, una sucesión de Cauchy en un espacio métrico $X$ con finalización $\overline{X}$ que no converge en $X$ es básicamente lo mismo que una secuencia en $X$ que converge a un elemento de $\overline{X}\setminus X$ . En un caso como éste, en el que $X=C[0,1]$ con $L^1$ norma y $\overline{X}=L^1[0,1]$ tienen descripciones explícitas, puede encontrar ejemplos empezando por un elemento de $\overline{X}\setminus X$ y encontrar una secuencia en $X$ convergente a ese elemento. La misma idea se aplica a la demostración de secuencias de Cauchy no convergentes en $\mathbb{Q}$ donde se puede tomar cualquier número irracional y considerar la secuencia de expansiones decimales truncadas.

Answer 2

Por teoría de la medida siempre se puede pasar a una subsecuencia que converge puntualmente a.e. por lo que suele ser bastante fácil determinar el único límite posible. Entonces hay que intentar construir los ejemplos de forma que el límite puntual (a.e.) no tenga ninguna posibilidad de ser continuo.

He aquí un ejemplo de lo que tengo en mente: $f_{n}(x) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\\ nx - \frac{n}{2} & \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \\\ 1 & \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \leq x \leq 1 \end{cases}$ definido para $n \geq 2$ . Es fácil ver que converge en el $L^{1}$ -a la función característica de $[\frac{1}{2},1]$ .

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Añadido: Dado que un $L^{1}$ -La sucesión de Cauchy siempre convergerá ( $L^{1}$ es completa por el teorema de Riesz-Fischer (o Fréchet-Riesz)), lo único que hay que hacer es elegir una función en $L^{1}$ que no tiene un representante continuo. El ejemplo más sencillo es una función escalonada (probablemente por eso las tres personas que respondieron propusieron básicamente el mismo ejemplo). Es suficiente, porque todas las funciones de $L^{1}$ es el $L^1$ -de una sucesión de funciones continuas (incluso suaves), como puede verse convolucionando con molificadores por ejemplo. En otras palabras, $C[0,1]$ (o incluso $C^{\infty}[0,1]$ ) son densos en $L^{1}$ .

Answer 3

¿Qué le parece la secuencia de funciones dada por $f_n(x)=x^n$ ? Esta secuencia es Cauchy en $(C([0,1]),\|\cdot\|_{L^1(0,1)})$ pero no converge en $C([0,1])$ .

EDIT: Este ejemplo no funciona. Gracias por señalarlo. Un ejemplo que hace viene dada por la sucesión de funciones continuas $f_n$ con $f_n(x)=\frac{2}{n}(x-\frac{1}{2}+\frac{1}{n})$ para $|x-\frac{1}{2}|\leq \frac{1}{n}$ , $f_n(x)=0$ para $x<\frac{1}{2}-\frac{1}{n}$ et $f_n(x)=1$ para $x>\frac{1}{2}+\frac{1}{n}$ . Eso es básicamente una aproximación continua de la función característica del intervalo $[\frac{1}{2},1]$ que no es continua.