¿Cómo mostrar $\sum_{n=2}^N g\left(\frac{1}{n}\right)\frac{n}{N} \rightarrow g'(0) $?

Question

Para cualquier función lisa $g$ que satisface $g(0)=0$, la siguiente extraña parece sostener:

$$\sum_{n=2}^N g\left(\frac{1}{n}\right)\frac{n}{N} \rightarrow g'(0) $$ as $N # \rightarrow \infty$

¿Puede alguien explicar o demostrar?

Answer 1

De la definición de la derivada, tenemos

$$g(x) = g(0) + g'(0)x + xr(x)= g'(0)x + xr(x),$$ where $\lim_{x\to 0} r (x) = 0. $ así

$$\sum_{n=1}^{N}g(1/n)(n/N) = \sum_{n=1}^{N}[g'(0)(1/n) + (1/n)r(1/n)](n/N) = g'(0) + (1/N)\sum_{n=1}^{N}r(1/n).$$

Porque $r(1/n)\to 0$ $n\to \infty,$ los medios Cesaro de esta secuencia $\to 0,$ que es lo mismo que decir $(1/N)\sum_{n=1}^{N}r(1/n) \to 0,$ dando el resultado.