Simetrías de anuncios $_3$, $SO(2,2)$ y $SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})$

Question

Básicamente, quiero saber como uno puede ver el $SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})$ simetría de los Anuncios de$_3$ explícitamente.

Anuncios de$_3$ puede ser definida como hyperboloid en $\mathbb{R}^{2,2}$ $$ X_{-1}^2+X_0^2-X_1^2-X_2^2=L^2 $$ donde $L$ es el de los Anuncios de radio. Desde la métrica de $\mathbb{R}^{2,2}$, $$ ds^2=-dX_{-1}^2-dX_0^2+dX_1^2+dX_2^2, $$ es invariante bajo $SO(2,2)$ transformaciones y también la hyperboloid definido anteriormente, es invariante podemos concluir que los Anuncios de$_3$ $SO(2,2)$ simetría.

Probablemente show con el grupo puro argumentos teóricos que el $SO(2,2)$ simetría es isomorfo a un $SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})$ simetría. Me gustaría saber, sin embargo, si uno puede ver esta simetría de forma más explícita en algunos representación de los Anuncios de$_3$?

Supongo que un punto de partida podría ser, que uno puede escribir la hyperboloid de la restricción de la ecuación como $$ \frac{1}{L^2}\text{det}\;\begin{pmatrix} X_{-1}-X_1 & -X_0+X_2 \\ X_0+X_2 & X_{-1}+X_1\end{pmatrix}=1 $$ es decir, hay alguna forma de identificación de la hyperboloid con el grupo colector de $SL(2,\mathbb{R})$ sí. Sin embargo, eso no nos dice nada acerca de las simetrías.

La única explicación que he encontrado (en la página 12 de la Ref. 1) fue que el grupo colector de $SL(2,\mathbb{R})$ lleva la Matanza-métrica de Cartan $$ g=\frac{1}{2}\text{tr}\,\left(g^{-1}dg\right)^2 $$ que es invariante bajo las acciones $$ g\rightarrow k_L\ g \qquad\text{y}\qquad g\rightarrow g\, k_R $$ con $k_L,k_R\in SL(2,\mathbb{R})$. Pero ¿cómo se puede obtener a partir de la métrica en la $\mathbb{R}^{2,2}$ a esta Matanza-Cartan métrica? También, no me parece que esta muy explícito y pregunto si hay una manera más directa.

Referencias:

1. K. Holsheimer, Cargas Superficiales, Holográfico Renormalization, y Lifshitz el espacio-Tiempo, tesis de maestría, Amsterdam. El archivo PDF está aquí.

Answer 1

I) en Primer lugar recordar el hecho de que

$SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})$ (el doble de la cubierta de) la identidad componente $SO^{+}(2,2;\mathbb{R})$ de la división ortogonal de grupo $O(2,2;\mathbb{R})$.

Esta de la siguiente manera, en parte debido a que:

1. Hay un bijective isometría de la división de espacio real $(\mathbb{R}^{2,2},||\cdot||^2)$ en el espacio de las $2\times2 $ real de las matrices de $({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}),\det(\cdot))$, $$\mathbb{R}^{2,2} ~\ni~\tilde{x}~=~(x^0,x^1,x^2,x^3)~\mapsto~ m~=~\begin{pmatrix}x^0+x^3 & x^1 +x^2\\ x^1 -x^2 & x^0-x^3\end{pmatrix}~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) , $$ $$ ||\tilde{x}||^2 ~=~x^{\mu} \eta_{\mu\nu}x^{\nu} ~=~\det(m).$$ Utilizamos aquí la convención de signos $(+,-,+,-)$ para la división métrica $\eta_{\mu\nu}$.

2. Hay un grupo de acción $\rho: SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})\times {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \to {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ dada por $$(g_L,g_R)\quad \mapsto\quad\rho(g_L,g_R)m~:= ~g_L m g_R^t,$$ $$ g_L,g_R\in SL(2,\mathbb{R}),\qquad m\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}), $$ cual es la longitud de la preservación, es decir, $(g_L,g_R)$ es una división transformación ortogonal. En otras palabras, no es una Mentira grupo homomorphism
   $$\rho: SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R}) \quad\a\quad O({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}),\mathbb{R})~\cong~ O(2,2;\mathbb{R}) , \qquad \rho(\pm {\bf 1}_{2 \times 2}, \pm {\bf 1}_{2 \times 2})~=~{\bf 1}_{{\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R})}.$$

[Es interesante comparar con construcciones similares para otras firmas, cf. por ejemplo, este Phys.SE post.]

II) a continuación definimos Anti-de Sitter espacio de $AdS_3$ con el negativo de la constante cosmológica $\Lambda<0$ como la hipersuperficie

$$ AdS_3 ~:=~ \det{}^{-1}(\Lambda^{-1})~:=~\{ m\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \mid \det(m)~=~\Lambda^{-1}\} $$

dotado con la inducida por la métrica. Tenga en cuenta que el grupo de acción $\rho$ conserva Anti-de Sitter espacio de $AdS_3$:

$$\rho: SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})\times AdS_3\quad \to\quad AdS_3,$$

De hecho, la Mentira de grupo $SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})$ induce de esta manera, global isometrías en $AdS_3$.