¿Analogía de la transposición de una función?

Question

En la página 2 de álgebra Lineal se explica en cuatro páginas de referencia, se tiene un cuadro que describe la relación entre las funciones y la transformación lineal. Se dice que el conjunto de ceros de una función ($f(x)=0$) es análoga a la del espacio nulo de una matriz de ($A \vec x=\vec 0$), y la función inversa ($f^{-1}(x)$) es análoga a la de la matriz inversa de ($A^{-1} \vec x$).

Hay una analogía funcional de la matriz transpuesta ($A^\text{T}$), y la analogía funcional del espacio nulo de una transpose ($A^\text{T} \vec x = \vec 0$)?

Answer 1

Sí estos análogos existen, pero probablemente no los encontrará muy útil. Si $g:X\to Y$ es una función, entonces el análogo de la transpuesta de a $g$ es el derecho-composición $f\mapsto f\circ g$, la asignación de cualquier $f:Y\to\Bbb R$ a la función de composición $f\circ g:X\to\Bbb R$, que se define como de costumbre por $f\circ g:y\mapsto f(g(y))$.

El análogo de la nullspace de la transpuesta de a es el conjunto de todos los $f$ tal que $f\circ g=0$ forma idéntica, es decir, los $f:Y\to\Bbb R$ que toma el valor de $0$ en todas partes en la imagen de $g$.

Una razón de esto es más útil para funciones lineales que para las funciones en general es que la imagen de un lineal mapa es siempre un subespacio lineal de la codominio. Tan pronto como el lineal mapa no ser surjective (tiene toda su codominio como el de la imagen) se produce un error tan dramáticamente (la imagen tiene menor dimensión que el codominio). Desde los núcleos de los lineales de los mapas también son subespacios, el conjunto de funciones lineales de fuga en la imagen de $g$ ahora se convierte en una cosa interesante de estudio.

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Como un aparte, el texto que se está citando parece ser ortogonal a la intención de su pregunta. Es abstracta dice:

Una gran cantidad de conocimiento buzz le espera si decide seguir el camino de la comprensión, en lugar de tratar de memorizar un montón de fórmulas.

No sé exactamente cómo leer la intención de que, pero el texto se centra en gran medida en las fórmulas para memorizar, y explica prácticamente nada (a pesar de su título). Por ejemplo, varias fórmulas para punto cruz y los productos son entregados, declaró como si se definen en todos los espacios vectoriales, que no lo son; y no hay mucho más que. Yo por lo tanto asumir "buzz" para ser utilizado en un peyorativo y despectivo manera aquí, como en la "mierda" en el título del libro es este. En cualquier caso, me parece que el texto es un mal comienzo para cualquier persona que quiera seguir el camino de la comprensión en álgebra lineal.