El otro día me encontré con la declaración que en la categoría triangulada $\mathfrak{KK}$ (de la C-álgebras con KK-grupos como conjuntos de morfismo) "hay muchas otras fuentes de triángulos exactas además de extensiones". Excepción de asignación de triángulos cono no saben lo que significa. ¿Qué puede venir para arriba con?
También le agradeceria respuestas centradas en categorías trianguladas en general.
Esta pregunta ha estado molestando desde que empecé a pensar en ello - yo estoy lejos de ser un experto en KK-teoría, pero pensé en tirar algo por ahí y tal vez alguien más la va a ver y vienen a lo largo y a estar de acuerdo conmigo o me corrija.
Creo que esta afirmación es una manera de pensar, en lugar de algo preciso. De hecho, por definición, todos los distinguidos triángulo de KK es un isomorph de una extensión de un triángulo (a pesar de que en el equivariant caso yo creo que la vida no es tan simple). Alternativamente, se puede definir la triangulación de tomar distinguido triángulos a los candidatos triángulo (es decir, $X\to Y\to Z \to \Sigma X$ donde cada par de compuestos desaparece) que son isomorfos a la asignación de cono de triángulos. Así que esto es realmente todo lo que uno tiene. La misma historia es verdadera en la derivada de la categoría de un abelian categoría, por ejemplo.
Pero (aquí está la frase de remate) no se suelen construir los triángulos que hay que probar las cosas por considerar a corto exacta de las secuencias de los complejos de la cadena! De hecho, una de las virtudes de los nidos de las categorías es que uno tiene la capacidad de producir una gran cantidad de nuevos objetos y triángulos, comenzando con muy poco. A menudo es difícil/imposible hacer esto en cualquier forma explícita - en el hecho de que generalmente sólo sabe que algunos de la colección de triángulos haciendo el trabajo que existe y no tiene idea de lo que parecen. Así que, aunque cada triángulo uno podría construir es (hasta KK equivalencia) una extensión hay una muy buena probabilidad de que no se obtenga por escrito una extensión explícita.
Supongo que también está el hecho de que un triángulo que está a sólo isomorfo en KK para una extensión triángulo en sí no es literalmente una extensión de $C^*$-álgebras. No sé las cosas lo suficientemente bien como para saber si es o no uno puede producir interesante triángulos a través de otras construcciones donde hay una garantía de que algunos de extensión existe para hacer que se distinguen. Esto es totalmente posible (y en mi opinión la visualización de este tipo de construcción como de una fuente diferente de los triángulos es una pena distinción psicológica).
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