¿Es el número mínimo de relaciones en un producto, la suma del número mínimo de relaciones en los factores gratis?

Question

Decir $\rho(G)$ es el mínimo número de relaciones se debe presentar el grupo $G$. Es $\rho(A*B)= \rho(A)+\rho(B)$? ¿Qué se puede decir acerca de la $\rho(A*B)$?

Hace un tiempo estaba pensando en $C_3*C_4$, pensando que era obvio que este grupo no debe ser un one-relator del grupo. Estoy bastante seguro de que en un momento se me ocurrió un argumento, pero parecía muy complicado, y el uso de información específica acerca de un relator grupos para algo que "parece" obvio.

---

Mediante los comentarios de abajo como guía, se puede demostrar que si la abelianization de $A,B$ es finito y $\rho(A)=r(A),\rho(B)=r(B)$ donde $r(G)$ es el rango del grupo (número mínimo de generadores), entonces podemos obtener ese $\rho(A*B)=\rho(A)+\rho(B)$.

• Se sabe que $r(A*B) =r(A)+r(B)$, esto se puede encontrar en Ch IV Cor 1,9 en Lyndon y Schupp.
• También tenemos que $\rho(A*B) \leq \rho(A)+\rho(B)=r(A)+r(B)$.
• Si $\rho(A*B) < r(A*B)$, luego de una presentación testigos de que la desigualdad puede ser demostrado tener un infinito abelianization, ya que el número de generadores que sería estrictamente mayor que el número de relaciones (ver esta respuesta). Esto contradice que el abelianization de $A*B$ es finito.

Por lo finito de productos libres de finito cíclica de los grupos de las obras y de otros grupos también.

---

Pude ver un cuidadoso análisis de la abelianization de f.g. grupos dando más y más información. Y parece que un poco relacionadas con el concepto, el grupo de deficiencia, se relaciona con algunos cohomology grupos (yo no conozco a ninguna cohomology, pero yo daría la bienvenida a una respuesta, incluso si se utiliza cohomology).

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\def}{def}$ Resulta que hay grupos de $A*B$$\rho(A*B) < \rho(A)+\rho(B)$!

• $(C_2 \times C_2) * (C_3 \times C_3)$ 5 relación con la presentación de $$\langle x,y,z,t \mid x^2,z^3,xyx^{-1}y^{-3}, ztz^{-1}t^{-4}, y^2t^{-3} \rangle$$ por el teorema 3 en la Presentación de las clases, las 3-variedades y productos gratis por Cynthia Cerdo, Martin Lustig y Wolfgang Metzler.
• El Schur multiplicador de un grupo finito $G$ da información acerca de la deficiencia del grupo, donde la deficiencia es el valor máximo de los generadores de menos relatores sobre todo la presentación del grupo, que se llamará $\def G$. En particular, el Schur multiplicador puede ser generado por $-\def G$ generadores. Tanto en $C_2 \times C_2$ $C_3 \times C_3$ han trivial Schur multiplicador, por lo que tampoco puede tener deficiencia de igual a $0$. Eso implica que ellos no tienen dos relator, dos de generador de presentaciones.
• Los grupos de $C_i \times C_i$ no es cíclico y no puede tener más generadores de relaciones, ya que son finitos. Por lo que el menor número de relaciones proviene de la presentación estándar $$C_i \times C_i\cong\langle x,y \mid x^i, y^i, xyx^{-1}y^{-1} \rangle.$$

Esto significa que $$\rho {\big{(}}(C_2 \times C_2) *(C_3 \times C_3) {\big )}\leq 5 <6=\rho(C_2 \times C_2) + \rho(C_3 \times C_3).$$