La reducida Presheaf

Question

Que $(X,\mathcal{O}_X)$ ser un esquema y definir un presheaf de anillos, $\mathscr{F},$ $U\mapsto\mathcal{O}_X(U)_{\text{red}}$, donde cualquier anillo comutativo $A$, $A_{\text{red}}$ es el cociente de $A$ por su nilradical.

¿Es una gavilla de $\mathscr{F}$? En mis intentos iniciales para demostrar este hecho, llego a un punto donde necesito la cuasi-compacidad $X$. ¿Es $\mathscr{F}$ un haz cuando $X$ es cuasi-compacto?

Answer 1

Algunos (opcional) antecedentes primero: Vamos a $(X,\mathcal{O}_X)$ ser cualquier (a nivel local) rodeada de espacio. La gavilla asociados a la presheaf $F$ que usted describe es denotado por $(\mathcal{O}_X)_{red}$. A continuación, $X_{red} := (X,(\mathcal{O}_X)_{red})$ es el terminal reducido (localmente) rodeada de un espacio equipado con un morfismos $X_{red} \to X$. Es sabido que si $X$ es un esquema, el mismo es cierto para $X_{red}$. De hecho, tenemos $\mathrm{Spec}(A)_{red}=\mathrm{Spec}(A_{red})$ desde ambos lados de satisfacer la misma característica universal. Tu pregunta es ahora si que la canónica homomorphism $\mathcal{O}_X(U)_{red} \to (\mathcal{O}_X)_{red}(U)$ es un isomorfismo. Como se comentó anteriormente, esto es cierto cuando se $U$ es un esquema afín.

El mapa de $F(U) \to \prod_i F(U_i)$ es inyectiva para todo finito, cubierta $U = \cup_i U_i$. De hecho, si $[s] \in F(U)$ se encuentra en el núcleo, representado por $s \in \mathcal{O}_X(U)$, esto significa que cada una de las $s|_{U_i}$ es nilpotent, decir $s|_{U_i}^{n_i}=0$. De ello se desprende $s^n = 0$$n := \max_i n_i$, por lo que el $[s]=0$. En particular, el mapa es inyectiva para cada cubierta abierta al $U$ es cuasi-compacto. En particular, $F$ es separado al $X$ es noetherian.

Aquí hay un ejemplo que muestra que $F$ no tienen que ser separados en general: Deje $X = \coprod_{n \geq 1} \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z})$. A continuación,$\mathcal{O}_X(X)=\prod_{n \geq 1} \mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z}$. Aquí, $2$ no es nilpotent, pero tenemos $2^n=0$$\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z})$. También hay ejemplos de irreductible esquemas, pero son más complicadas.

¿Qué acerca de la otra gavilla axioma? Deje $U = \cup_i U_i$ ser finito, abra la tapa y deje $[s_i] \in F(U_i)$ ser compatible elementos, es decir, $s_i \in \mathcal{O}_X(U_i)$ tal que $s_i|_{U_i \cap U_j}-s_j|_{U_i \cap U_j}$ es nilpotent. Nos preguntamos si hay una sección de $s \in \mathcal{O}_X(U)$ tal que $s|_{U_i}-s_i$ es nilpotent. Dudo que sea el caso, incluso para dos subconjuntos $U = U_1 \cup U_2$. Por ejemplo, puede suceder que el $U_1 \cap U_2$ tiene un trivial nilpotent sección en la que se levanta a una sección de $s_1$$U_1$, pero $U_1$ $U_2$ tiene sólo trivial nilpotent secciones y, a continuación, $s_2=0$ da un contraejemplo. Voy a añadir un ejemplo específico cuando se trata de mí ...