Todos los ceros de $p(z)$ mienten dentro del disco de la unidad

Question

Que $p(z) = c_0 + c_1z + c_2z^2 + \dots + c_nz^n$ donde $0 \le c_0 \le c_1 \le \dots \le c_n$. Me gustaría mostrar que todos los ceros de este polinomio mentira dentro de la unidad de disco, aplicando el teorema de Rouche en el polinomio $(1-z)p(z)$. No estoy totalmente seguro de cómo hacerlo. Usando la información dada, puedo deducir %#% $ #%

en la unidad de círculo, pero esto no realmente coincide con las hipótesis del teorema de Rouche.

Se agradecería la ayuda.

Answer 1

Similares a @DonAntonio la respuesta, sino que utiliza el teorema de Rouché. Tenemos: $$ (1 - z)p(z) = c_0 + \sum_{k=1}^n (c_k - c_{k-1}) z^k - c_n z^{n+1} $$

Deje $|z| = r > 1$, tenemos:

\begin{align} \left|(1 - z)p(z) - (-c_n z^{n+1})\right| &= \left| c_0 + \sum_{k=1}^n (c_k - c_{k-1}) z^k \right| \\ &< \left(c_0 + \sum_{k=1}^n (c_k - c_{k-1})\right)\left|-z^{n+1}\right| = \left|-c_n z^{n+1}\right| \end{align}

Por lo tanto, $(1 - z)p(z)$ $-c_n z^{n+1}$ tienen el mismo número de ceros en el interior de cada círculo de $|z| = r$$r > 1$. Pero $-c_n z^{n+1}$ $n+1$ ceros en $0$ $(1-z)p(z)$ $n+1$ ceros. De ello se sigue que todos los ceros de $(1-z)p(z)$ se encuentran dentro del círculo $|z| = r$.

Dejando $r \to 1$, llegamos a la conclusión de que todos los ceros de $(1 - z)p(z)$ (y, por tanto,$p(z)$) se encuentran en el cerrado de la unidad de disco. Observe que los ceros pueden estar en el círculo unitario como se demuestra por el polinomio $p(z) = 1 + z$.

Answer 2

Definir

$$t(z):=(1-z)p(z)=\sum_{k=1}^n(c_k-c_{k-1})z^k+c_0-c_nz^{n+1}$$

Que $\,w\in\Bbb C\;,\;\;|w|>1\,$ ser una raíz de $\,p(z)\,$ y, por tanto, también de $\,t(z)\,$:

$$c_n|w^{n+1}|=\left|c_0+\sum_{k=1}^n(c_k-c_{k-1})w^k\right|\le c_0+\sum_{k=1}^n(c_k-c_{k-1})|w|^k<$$

$$<c_0|w|^n+\sum_{k=1}^n(c_k-c_{k-1})|w|^n=c_n|w|^n$$

así tenemos:

$$c_n|w|^{n+1}<c_n|w|^n\Longrightarrow|w|<1\ldots\text{contradiction}$$

Pulir y poner fin a la discusión ahora.