Muestran que

Question

Siempre quiero saber si este límite se mantienen o no.

Por favor, demostrar que

$$\lim_{x\to \infty}\left[{\gamma\over x}+e^{-{\gamma\over x}}\prod_{y=1}^{\infty}\left({xy\over 1+xy}\right){e^{{1\over xy}}}\right]=1\tag1$$

Donde $\gamma$ es constante de Euler; $\gamma=0.577216...$

Mi intento:

Re escribir

$$\left(1-{\gamma\over x}\right)e^{\gamma \over x}=\prod_{y=1}^{\infty}\left({xy\over 1+xy}\right){e^{1\over xy}}$$

Tomar el ln

$${\gamma\over x}+\ln{\left(1-{\gamma\over x}\right)}=\sum_{y=1}^{\infty}\ln{\left(xy\over 1+xy\right){e^{1\over xy}}}$$

${\gamma\over x} + \ln {\left (1-{\gamma\over x} \right)} = \ln {\left ({x\over 1 + x} \right) {e ^ {1\over x}}} + \ln {\left ({2x\over 1 + x 2} \right) {e ^ {1\over x 2}}} + \ln{\left ({3x\over 1 + x 3} \right) {e ^ {1\over x 3}}} + \cdots$ $

¿cualquier sugerencias de qué hacer? O bien probar $(1)$

Answer 1

ESTO ES UNA RESPUESTA A LA ORIGIANL PUBLICADO PREGUNTA

Tenga en cuenta que tenemos

$$\begin{align} \log\left(\left(\frac{xy}{1+xy}\right)^{e^{\frac1{xy}}}\right)&={e^{\frac1{xy}}\log\left(1-\frac{1}{1+xy}\right)}\\\\ &=\left(1+\frac1{xy}+O\left(\frac{1}{(xy)^2}\right)\right)\left(-\frac{1}{1+xy}+O\left(\frac{1}{(1+xy)^2}\right)\right)\\\\ &=-\frac1{xy}+O\left(\frac1{(xy)^2}\right) \end {Alinee el} $$

Cuanto $\lim_{N\to \infty}\sum_{y=1}^N \frac{-1}{xy}=-\infty$, el producto infinito acerca $0$.

---

Tenga en cuenta que si hubiese en lugar del término $\left(\frac{xy}{1+xy}\right)^{e^{\frac{1}{xy}}}$ $\left(\frac{xy}{1+xy}\right)\,e^{\frac{1}{xy}}$, entonces el producto representa

$$e^{-\gamma/x}\prod_{y=1}^\infty \left(\frac{xy}{1+xy}\right)\,e^{\frac{1}{xy}}=\frac1x \Gamma(1/x)\to 1\,\,\text{as}\,\,x\to \infty$$