Límite

Question

Tengo que encontrar el límite de lo siguiente:

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\ln x}x\right)^{1/x}$$

Pienso en: $y = \ln(x)$ y entonces $x = e^y$, que será tan larga.

por favor ayuda!

Answer 1

Considerar el límite del logaritmo de la primera:

$$ \lim_{x\to\infty} \ln\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)^{1/x} = \lim_{x\to\infty} \frac{\ln\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{\ln \ln x - \ln x}{x} $$

Ahora aplicar la regla de L'Hôpital:

$$ \lim_{x\to\infty} \ln\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)^{1/x} = \lim_{x\to\infty} \left(\dfrac{1}{x \ln x} - \frac{1}{x} \right) = 0 $$

Por lo tanto, el límite original es $e^0 = 1$.

Como @DominicMichaelis señala en los comentarios, tomando el límite del logaritmo se justifica debido a que el logaritmo es continua e inyectiva.

Answer 2

Deje que

$$L=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\ln x}x\right)^{1/x}\;.$$

Luego por la continuidad del registro tiene

$$\ln L=\lim_{x\to\infty}\ln\left(\frac{\ln x}x\right)^{1/x}=\lim_{x\to\infty}\frac1x(\ln\ln x-\ln x)=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\ln x}x-\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}x\;,$$

siempre que existen los límites en cuestión. Ahora aplica la regla de l ' hospital para encontrar $\ln L$ y exponentiate encontrar $L$.

Answer 3

Sólo escribo desde $a^b$ $e^{ln(a) \cdot b}$ y uso continuo de la función de e y L'hospital. $$\left(\frac{\ln(x)}{x}\right)^\frac{1}{x}=e^{\frac{1}{x} \cdot (\ln(\ln(x))-\ln(x))}$ $ Usando l ' Hospital tenemos $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \cdot (\ln(\ln(x))-\ln(x))= \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x\cdot \log{x}} -\frac{1}{x}=0$ $ y $$\lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{\ln(x)}{x}\right)^\frac{1}{x} =e^0 =1$ $