Conectividad del subgrupo ortogonal $O^+_+(k,l)$

Question

Dejemos que $O(k,l)$ sea el grupo ortogonal asociado a la forma cuadrática $q$ en $\mathbb{R}^{k+l}$ con firma $(k,l)$ . Dejemos que $O^+_+(k,l)$ sea la componente conectada de la identidad, es decir, las componentes conectadas de los elementos en $O(k,l)$ que mantiene la orientación en cada subespacio positivo máximo $W\subset \mathbb{R}^{k+l}$ y $W^\perp$ . Quiero demostrar que $O^+_+(k,l)$ está conectado.

He leído las referencias de la página wiki http://en.wikipedia.org/wiki/Indefinite_orthogonal_group pero nadie parece demostrarlo realmente.

Así que pensé que tal vez podemos aplicar el mismo argumento de la prueba de la conectividad de $SO(k)$ . Considero el hiperboloide $q(x)=1$ para $x\in \mathbb{R}^{k+l}$ y tengo que demostrar que $O^+_+(k,l)$ actúa de forma transitoria sobre una componente conexa del hiperboloide (esto me parece legítimo, aunque no estoy seguro de cuántas componentes conexas tiene el hiperboloide). Entonces el estabilizador de un punto es de la forma \begin {pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{1,1} & \cdots & a_{1,k+l-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{k+l-1,1} & \cdots & a_{k+l-1,k+l-1} \end {pmatriz} donde \begin {pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,k+l-1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k+l-1,1} & \cdots & a_{k+l-1,k+l-1} \end {pmatrix} está en $O^+_+(k-1,l)$ que está conectada por hipotesis de inducción. Y así también $O^+_+(k,l)$ está conectado.

Pero no sé cómo averiguar cuántos componentes conectados tiene el hiperboloide y cómo demostrarlo $O^+_+$ actúa transitoriamente en uno de ellos.. ¿Tienes alguna idea?

Answer 1

¿Recuerdas cómo la prueba de que $SO(k)$ ¿está conectado va? Hay unos cuantos. Una va así. $SO(k)$ fibras sobre $S^{k-1}$ con fibra $SO(k-1)$ . La base está conectada, así que por inducción la conectividad se reduce a argumentar que $SO(1)$ está conectado, pero esto es un punto. Del mismo modo, se puede argumentar que $O(k)$ tiene precisamente dos componentes por este argumento de inducción.

También hay argumentos que utilizan operaciones matriciales elementales, pero en mi opinión funcionan mejor para demostrar $GL_n^+$ está conectado.

Adaptemos el primer argumento a su caso. Mostraremos $O(k,l)$ tiene precisamente cuatro componentes previstos $k,l \geq 1$ que es equivalente a su problema.

Dado un vector "temporal" en $\mathbb R^{k+l}$ , $O(k,l)$ preserva el hecho de que es temporal (por diseño), y preserva la longitud del vector. Así que $O(k,l)$ actúa sobre los vectores unitarios de tiempo. Además, esta acción es transitiva. La prueba de que la acción es transitiva se reduce a argumentar que cualquier vector unitario temporal puede complementarse con una base ortonormal de $\mathbb R^{k+l}$ , que consiste en $k$ unidad de tiempo y $l$ vectores espaciales unitarios, respectivamente. Así que eso da un haz $O(k,l) \to H(k,l)$ donde $H(k,l) \subset \mathbb R^{k+l}$ es el subespacio vectorial unitario de tipo temporal. Este es un hiperboloide de algún tipo, y está conectado precisamente cuando $k \geq 2$ y $l \geq 1$ . Además, la fibra de este fibrado es $O(k-1,l)$ . Como ya sabemos $O(0,l)$ tiene precisamente dos componentes $O(0,l) = O(l)$ por inducción hemos terminado.