Supongamos que $f''(x)=f(x)$ para todos los números reales $x$ y que $f(0)=f'(0)=0$. Muestran que $f$ es la función cero.
Sé que $f''(0)=0$ de los supuestos enumerados. Quiero considerar la serie de Taylor para $f$ centrado en $x=0$, que $\sum$ $[f^{(n)}(0)/n!]x^n$. No estoy seguro de dónde ir desde aquí.
Porque $f'' = f$ $\mathbb R,$ vemos que el $f\in C^2(\mathbb R).$ deja $M= \sup_{[0,1]}|f|.$ entonces $M=|f(x_0)|$ $x_0 \in [0,1].$ por Taylor, hay $c\in (0,x_0)$ tal que
$$f(x_0) = f(0) + f'(0)x_0 + f''(c)x_0^2/2 = f''(c)x_0^2/2 = f(c)x_0^2/2.$$
Tomando valores absolutos da $M\le Mx_0^2/2 \le M/2.$ que implica $M=0.$así $f\equiv 0$ $[0,1].$ este argumento se puede continuar hacia la derecha para dar el $f\equiv 0$ $[0,\infty).$ el argumento funciona también a la izquierda, así que tenemos $f\equiv 0$ $\mathbb R$ como se desee.
Supongamos que $f''=f$ y $g(x)=(f'(x)+f(x))e^{-x}$ tener en cuenta. Entonces $$ g'(x) = (f'' (x)+f'(x))e^{-x}-(f'(x)+f(x)) e ^ {-x} = 0 $$ por lo tanto $g(x)$ es constante. Desde $$ g (0) = 0 $$ tenemos $f'(x)+f(x)=0$, cada $x$. Por lo tanto $f'=-f$. Considerar $$ h (x) = f (x) e ^ {x} $$ entonces $h'(x)=f'(x)e^x+f(x)e^x=0$ así también $h$ es constante. Desde $h(0)=0$, hemos terminado.
Para una función real el hecho de que la serie de Taylor es $0$ a cualquier orden no significa que la función es $0$; el bien conocido ejemplo es
$$f(x)=\begin{cases} e^{-1\over x^2}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}$$
Uno puede comprobar que es infinitamente derivable en a$0$$\forall n,\,f^{(n)}(0)=0$.
No a resolver su problema necesita utilizar los teoremas de unicidad relacionados a la educación a distancia (e.g Cauchy de Lipschitz) o, equivalentemente, a sabiendas de que la solución de un lineal de segundo orden de la educación a distancia es determinada únicamente por dos parámetros ( $y(0)$ $y'(0)$ ) y darse cuenta de que el cero de la función verifica el $y''+y=0$, $y(0)=0$ y $y'(0)=0$, por lo que es la única solución.
Suponemos que $f$ es dos veces diferenciable. Entonces, si $f''=f$, entonces podemos ver de forma inductiva que $f$$C^\infty$. Vamos a suponer que se puede representar en términos de su serie de Taylor como
$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n \tag 1$$
Además, en su intervalo de convergencia de la serie en $(1)$ pueden ser diferenciados término por término. La diferenciación de dos veces, obtenemos
$$\begin{align} f''(x)&=\sum_{n=2}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{(n-2)!}\,x^{n-2}\\\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n+2)}(0)}{n!}\,x^n \tag 2 \end{align}$$
Desde $f=f''$, luego por la unicidad de la serie de Taylor tenemos a partir de la equiparación de la $(1)$ $(2)$
$$f^{(n)}(0)=f^{(n+2)}(0) \tag 3$$
para todos los $n$.
Por otra parte, tenemos a partir de las condiciones iniciales
$$\begin{align} \left.\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n\right)\right|_{x=0}&=f^{(0)}(0)\\\\ &=0 \tag 4 \end{align}$$
$$\begin{align} \left.\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n+1)}(0)}{n!}\,x^n\right)\right|_{x=0}&=f^{(1)}(0)\\\\ &=0 \tag 5 \end{align}$$
Armando $(3)-(5)$, nos encontramos con que $f^{(n)}(0)=0$ todos los $n$ y hemos terminado!
NOTA:
La función de $f(x)= e^{-1/x^2}$ $x\ne 0$ $f(0)$ es $C^\infty$. Pero su serie de Taylor es $0$ y por lo tanto no representan a $f(x)$ cualquier lugar. Así, la suposición de que $f(x)$ puede ser representado por su serie de Taylor fue una de las claves aquí.
Desde que se quería extraer el resultado de una serie que se puede afirmar que si una solución analítica, $A(x)$, existe, será de la forma $$ Una(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n $$ ahora tenemos $$ A"(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n $$ y, por supuesto,$A(0) = A'(0) = 0$.
De modo que la ecuación diferencial nos dice que $$ \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n - \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n &= 0 \\ \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n - a_nx^n &= 0 \\ \sum_{n=0}^{\infty}\left [ (n+2)(n+1)a_{n+2}- a_n \right ]x^n &= 0 \end{align*} $$
La equiparación de cada término con $0$, tenemos $$ a_{n+2} = \frac{a_n}{(n+2)(n+1)} $$
Que con las condiciones iniciales $a_0 = A(0) = 0$$a_1 = A'(0) = 0$, claramente tenemos $a_n = 0$.
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