Que $f$ es la función de cero si $f''(x)=f(x)$ y $f(0)=f'(0)=0$

Question

Supongamos que $f''(x)=f(x)$ para todos los números reales $x$ y que $f(0)=f'(0)=0$. Muestran que $f$ es la función cero.

Sé que $f''(0)=0$ de los supuestos enumerados. Quiero considerar la serie de Taylor para $f$ centrado en $x=0$, que $\sum$ $[f^{(n)}(0)/n!]x^n$. No estoy seguro de dónde ir desde aquí.

Answer 1

Porque $f'' = f$ $\mathbb R,$ vemos que el $f\in C^2(\mathbb R).$ deja $M= \sup_{[0,1]}|f|.$ entonces $M=|f(x_0)|$ $x_0 \in [0,1].$ por Taylor, hay $c\in (0,x_0)$ tal que

$$f(x_0) = f(0) + f'(0)x_0 + f''(c)x_0^2/2 = f''(c)x_0^2/2 = f(c)x_0^2/2.$$

Tomando valores absolutos da $M\le Mx_0^2/2 \le M/2.$ que implica $M=0.$así $f\equiv 0$ $[0,1].$ este argumento se puede continuar hacia la derecha para dar el $f\equiv 0$ $[0,\infty).$ el argumento funciona también a la izquierda, así que tenemos $f\equiv 0$ $\mathbb R$ como se desee.

Answer 2

Supongamos que $f''=f$ y $g(x)=(f'(x)+f(x))e^{-x}$ tener en cuenta. Entonces $$g'(x) = (f'' (x)+f'(x))e^{-x}-(f'(x)+f(x)) e ^ {-x} = 0$$ por lo tanto $g(x)$ es constante. Desde $$g (0) = 0$$ tenemos $f'(x)+f(x)=0$, cada $x$. Por lo tanto $f'=-f$. Considerar $$h (x) = f (x) e ^ {x}$$ entonces $h'(x)=f'(x)e^x+f(x)e^x=0$ así también $h$ es constante. Desde $h(0)=0$, hemos terminado.

Answer 3

Para una función real el hecho de que la serie de Taylor es $0$ a cualquier orden no significa que la función es $0$; el bien conocido ejemplo es

$$f(x)=\begin{cases} e^{-1\over x^2}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}$$

Uno puede comprobar que es infinitamente derivable en a$0$$\forall n,\,f^{(n)}(0)=0$.

No a resolver su problema necesita utilizar los teoremas de unicidad relacionados a la educación a distancia (e.g Cauchy de Lipschitz) o, equivalentemente, a sabiendas de que la solución de un lineal de segundo orden de la educación a distancia es determinada únicamente por dos parámetros ( $y(0)$ $y'(0)$ ) y darse cuenta de que el cero de la función verifica el $y''+y=0$, $y(0)=0$ y $y'(0)=0$, por lo que es la única solución.

Answer 4

Suponemos que $f$ es dos veces diferenciable. Entonces, si $f''=f$, entonces podemos ver de forma inductiva que $f$$C^\infty$. Vamos a suponer que se puede representar en términos de su serie de Taylor como

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n \tag 1$$

Además, en su intervalo de convergencia de la serie en $(1)$ pueden ser diferenciados término por término. La diferenciación de dos veces, obtenemos

$$\begin{align} f''(x)&=\sum_{n=2}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{(n-2)!}\,x^{n-2}\\\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n+2)}(0)}{n!}\,x^n \tag 2 \end{align}$$

Desde $f=f''$, luego por la unicidad de la serie de Taylor tenemos a partir de la equiparación de la $(1)$ $(2)$

$$f^{(n)}(0)=f^{(n+2)}(0) \tag 3$$

para todos los $n$.

Por otra parte, tenemos a partir de las condiciones iniciales

$$\begin{align} \left.\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n\right)\right|_{x=0}&=f^{(0)}(0)\\\\ &=0 \tag 4 \end{align}$$

$$\begin{align} \left.\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n+1)}(0)}{n!}\,x^n\right)\right|_{x=0}&=f^{(1)}(0)\\\\ &=0 \tag 5 \end{align}$$

Armando $(3)-(5)$, nos encontramos con que $f^{(n)}(0)=0$ todos los $n$ y hemos terminado!

NOTA:

La función de $f(x)= e^{-1/x^2}$ $x\ne 0$ $f(0)$ es $C^\infty$. Pero su serie de Taylor es $0$ y por lo tanto no representan a $f(x)$ cualquier lugar. Así, la suposición de que $f(x)$ puede ser representado por su serie de Taylor fue una de las claves aquí.

Answer 5

Desde que se quería extraer el resultado de una serie que se puede afirmar que si una solución analítica, $A(x)$, existe, será de la forma $$Una(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$$ ahora tenemos $$A"(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n$$ y, por supuesto,$A(0) = A'(0) = 0$.

De modo que la ecuación diferencial nos dice que $$\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n - \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n &= 0 \\ \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n - a_nx^n &= 0 \\ \sum_{n=0}^{\infty}\left [ (n+2)(n+1)a_{n+2}- a_n \right ]x^n &= 0 \end{align*}$$

La equiparación de cada término con $0$, tenemos $$a_{n+2} = \frac{a_n}{(n+2)(n+1)}$$

Que con las condiciones iniciales $a_0 = A(0) = 0$$a_1 = A'(0) = 0$, claramente tenemos $a_n = 0$.