Algunas personas han considerado que deberían ser llamado simplemente funciones morfismos en teoría de la categoría.
Sin embargo, no todos los morfismos parecen funciones a primera vista. Por ejemplo, en las categorías de órdenes parciales, como la categoría en la que los objetos son los números naturales y existe un morfismo entre dos números x y y si y solamente si x < y: ¿Cómo es, digamos, el morfismo que corresponde al hecho de "2 < 3" visto como una función? ¿Cuál es su dominio y codomain?
Por Cayley de la representación (para categorías pequeñas, como el posets, al menos) en cada categoría puede ser incrustado en $\Bbb{Set}$, como sigue:
para un objeto $A$ nosotros mapa del conjunto de flechas que terminan en $A$, es decir, $$F(A):= \bigcup_X \,(X,A) = \{f: \mathrm{cod} f=A\}$$ y para que una flecha $f:A\to B$, la asignación de $g\mapsto f\circ g,\ F(A)\to F(B)$.
En este punto de vista, los morfismos se presentan como funciones.
En el ejemplo de la poset $(\Bbb N,\le)$, se puede considerar que la "morfismos" $2\le 3$ como el par ordenado $\langle 2,3\rangle$, entonces, aplicando estrictamente la anterior, obtenemos
$F(2)=\{\langle 0,2\rangle;\ \langle 1,2\rangle;\ \langle 2,2\rangle \}$, $\ F(3)=\{\langle 0,3\rangle;\ \langle 1,3\rangle;\ \langle 2,3\rangle;\ \langle 3,3\rangle \}$ y
$F(\langle 2,3\rangle)\ $ mapas de $\ \langle x,2\rangle\ $$\ \langle x,3\rangle$.
[Es mejor poner "función" en comillas, porque no nos referimos aquí lo que un matemático significa normalmente mediante una función, pero algunos más abstracto, la idea intuitiva.]
Cada vez que construimos una teoría algebraica de algo, que a menudo terminan con degenerado ejemplos que se ajustan a la teoría, pero no se parece en nada a lo que estamos tratando de modelo. Parcial de las órdenes (y pre-ordenes) son degenerados ejemplos de categorías.
Sin embargo, algo de la "función" de la idea pueden ser recuperados incluso en este caso. Si me permiten pensar de posets cuyos elementos son conjuntos de algún tipo y su orden parcial es la inclusión del conjunto, entonces es fácil lo suficiente como para pensar de inclusiones como un tipo particular de "funciones". Son inyecciones que preservar la identidad de los elementos de ajuste.
De hecho, el ejemplo de la número natural poset puede ser pensado de esta manera. En el estándar de la teoría de conjuntos, un número natural n se define como el conjunto $\{0,...,n-1\}$. El orden parcial de los números naturales es sólo la inclusión de estos conjuntos.
Otro punto de vista es que las pre-ordenes son categorías en las que los diferentes morfismos $A \to B$ han sido identificados (por "fuerza bruta?"), y el de posets son categorías, donde la fuerza bruta ha sido aplicada a la identificación de todos los isomorfo objetos así. Hay proyectos denominados "groupoidification" y "categorification", que intentan deshacer la fuerza bruta que se haya aplicado a los conceptos matemáticos básicos y desenterrar la verdadera matemática que subyace en ellos. Si usted está interesado, aquí es un motor de arranque entrada de blog por Juan Báez.
Permítanme ofrecer otro punto de vista.
No creo que la invocación del teorema de Cayley puede justificar llamar morfismos funciones, debido a que este tipo de representación no suele tener una subcategoría de los conjuntos, y no completo subcategorías rara vez heredar propiedades interesantes de la incrustación de la categoría. Sería mejor quizá para invocar el Yoneda lema, que dice que un local pequeño de la categoría $\mathbb{C}$ totalmente incrusta en la categoría de presheaves $\mathbf{Set}^{\mathbb{C}^{op}}$. Un presheaf $F \colon \mathbb{C}^{op} \rightarrow \mathbf{Set}$ es esencialmente una (de alguna manera generalizada) $\mathbb{C}$clasificados de álgebra, donde $\mathbb{C}$ pueden ser entendidas como una generalizada "de la firma junto con las ecuaciones". Una de morfismos de tales álgebras $h \colon F \rightarrow G$ consiste (como de costumbre) de una familia de funciones (sí así que, técnicamente, no es una función, sino una familia de funciones, pero es fácil de representar a una familia como una sola función) entre los transportistas $h_C \colon F(C) \rightarrow G(C)$ compatible con las operaciones de la firma. Esto significa, que cada categoría puede ser realizado como una subcategoría de la generalizada álgebras y álgebra homomorphisms (por CIERTO: la del teorema de Cayley es obtenido de la anterior por "pegar" los portadores de la álgebras).
Sin embargo, no creo que la invocación de la Yoneda lema es una buena idea. Lo que yo creo, es que uno debe preguntarse primero qué es una función. Y debido a que estamos interesados en los fundamentos matemáticos, nosotros no podemos decir que una función es un subconjunto de un producto Cartesiano de dos conjuntos de satisfacer algunas de las propiedades, sin decir lo que nuestros conjuntos, o más exactamente, lo que la teoría de conjuntos, estamos dispuestos a trabajar. Accidentalmente, parece ser una tarea difícil dar una respuesta correcta. Algunos pueden decir que una función es algo que vive dentro de la teoría de conjuntos ZF, o cualquier consistentes extensión de ZF. Sin embargo, existen otras teorías que estamos dispuestos a aceptar como "conjunto de teorías" que no son en ningún sentido extensiones de ZF.
Categóricamente, uno podría decir que una "teoría de conjuntos" es un elemental de topos. Sin embargo, de nuevo, hay "conjunto de teorías" sin el poder total-conjunto de axiomas que constituyen algunos de los más débiles (como los sistemas de $\Pi$($W$)-pretoposes). Por otra parte, en ciencias de la computación, el concepto de una función es aún más general \begin{array}{ccc} V_{\text{ds}} & C_{\text{gd}}\text{(data)} & C_{\text{gd}}\text{(model)} \\ \text{1V} & 750pF & 749pF \\ \text{8V} & 250pF & 247pF \\ \text{25V} & 88pF & 94pF \enduna función es más bien como un conjunto de simples puntos de vinculación de los argumentos con los resultados, sino como una especie de un proceso informático que en la entrada produce un resultado. Estas funciones están definidas en varios lambda cálculo. Por ejemplo, mecanografiada lambda cálculo es equivalente a la Cartesiano categorías cerradas, y sin tipo lambda cálculos corresponden a categórico Lambek del C-monoids.
Lo que me gustaría plantear es que para hablar acerca de las funciones necesitamos mucho menos de la estructura, a continuación, tenemos en una "teoría de conjuntos", en un "topos", y menos aún entonces tenemos en un "Cartesiana cerrada categoría" --- en cierto sentido, el concepto de una categoría es el mejor intento de dar una puramente abstracto axiomatization para el concepto de función!
Permítanme también el punto que es crucial distinguir los conceptos de nuestro meta-teoría, el concepto interno que tenemos que definir dentro de la teoría. Es evidente, que Mariano de la tabla (ver los comentarios a la pregunta original) no es una externa de la función, pero eso no significa, que no puede ser, aunque como interna en función de una categoría de --- del mismo modo el hecho de que no existe un modelo de ZFC construir sobre números naturales, no implica que las funciones en ZFC son números naturales (y no funciones!).
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
