Invariación de valores propios de un producto de matrices cuadradas bajo permutación cíclica

Question

Recientemente me encontré con esta proposición que los valores propios de un producto de matrices cuadradas son invariantes bajo permutación cíclica de la orden de producto. ¿Tal vez hay alguna manera teórica de grupo de la prueba de esta proposición?

He tratado algunos casos y parece ser cierto, pero una prueba directa ha demostrado ser difícil de alcanzar. ¿O una prueba no es tan sencillo?

Answer 1

Esto es una consecuencia del hecho de que el espectro de $AB$ $BA$ coinciden. Supongamos que $\lambda$ es un no-cero autovalor de a $AB$ con autovector $\mathbf{v}$. Entonces $$AB\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\implies BA(B\mathbf{v}) = \lambda B\mathbf{v}$$ de modo que $B\mathbf{v}$ es un autovector de a$\lambda$$BA$. Claramente $AB$ $BA$ son tanto invertible o no invertible, por lo $0$ como un autovalor también coincide.

Por lo tanto, $\sigma(AB) = \sigma(BA)$ donde $\sigma$ denota el espectro.

Este hecho, a continuación, se extiende a cualquier permutación cíclica (de manera parecida a como la permutación cíclica de la propiedad de la traza se desprende también de $\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)$). Por ejemplo, por la aplicación continua de la propiedad de intercambio para este grupo de $4$ matrices, tenemos $$\sigma([ABC]D) = \sigma(D[ABC]) = \sigma([DAB]C) = \sigma(C[DAB]) = \cdots $$