Valor esperado del estocástico integral $\int_0^t e^{as} dW_s$

Question

Estoy tratando de calcular un % integral estocástico $\mathbb{E}[\int_0^t e^{as} dW_s]$. Traté de romper en un % de la suma de Riemann $\mathbb{E}[\sum e^{as_{t_i}}(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})]$, pero me sale el valor esperado de $0$, desde $\mathbb{E}(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}) =0$. Pero creo que está mal. Gracias!

Y quiero calcular $\mathbb{E}[W_t \int_0^t e^{as} dW_s]$ así, escriba $W_t=\int_0^t dW_s$ y obtener $\mathbb{E}[W_t \int_0^t e^{as} dW_s]=\mathbb{E}[\int_0^t e^{as} dW_s]$.

¿Es eso aceptable?

($W_t$ es movimiento browniano).

Answer 1

La expectativa de la Ito integral $\mathbb{E}( \int_0^t \mathrm{e}^{a s} \mathrm{d} W_s )$ es cero como George ya dicho.

Para calcular el $\mathbb{E}( W_t \int_0^t \mathrm{e}^{a s} \mathrm{d} W_s )$, escriba $W_t = \int_0^t \mathrm{d} W_s$. A continuación utilizar isometría de Ito:

$$ \mathbb{E} (W_t \int_0^t \mathrm{e}^{a s} \mathrm{d} W_s) = \mathbb{E}\left (\int_0^t \mathrm{d} W_s \cdot \int_0^t \mathrm{e}^{a s} \mathrm{d} W_s \right) = \mathrm{d \int_0^t (1 \cdot \mathrm{e}^{a s})} t = \frac{\mathrm{e}^{a t} - 1} {un} $$