Hace $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$ forman un espacio métrico con esta medida de distancia/similitud?

Question

Considere el conjunto $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$ donde dos funciones $f$ y $g$ se dice que son iguales, si coinciden en casi todo. Me gustaría definir una medida de distancia/similitud y me gustaría estudiar sus propiedades como por ejemplo si junto con este conjunto, forma un espacio métrico.

Dejemos que $f$ , $g$ sean dos funciones sobre este conjunto. Definimos una función de correlación cruzada normalizada como $$h(x) = \frac{\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(t)g(t+x)\mathrm dt}{\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(t)^2\mathrm dt \int \limits_{-\infty}^{\infty}g(t)^2\mathrm dt}$$

y nuestra medida de distancia viene dada por $$d(f,g) = \frac{1}{\sup_x |h(x)|} - 1.$$

Lo que me interesa saber es si este conjunto junto con esta medida de distancia califica como un espacio métrico y también si tiene alguna propiedad interesante.

Modificación (ya que no parece interesante en su forma actual) Espero que esté bien en este caso especial.

Primero definimos una clase de equivalencia y luego modificamos la métrica (de hecho, nos gustaría llamarla similitud en lugar de métrica y discutir sus propiedades y preguntar si se modificaría a una métrica si fuera necesario)

Clase de equivalencia :

Dejemos que $f$ sea una función y definamos su clase de equivalencia como $\{kf_{\theta}\}$ , $\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{$ \theta \ en [0,\pi]} $, $ \theta \\theta en [-\pi,\pi], k \theta en \mathbb{R}\setminus \ {0\} $ and $$ f_{theta} = f \cos(\theta) + f_h \sin(\theta) $$ where $ f_h $ is the hilbert transform of $ f$.

Medida de similitud (métrica)

dejar $$h(x) = \frac{\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(t)g(t+x)\mathrm dt}{\sqrt{\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(t)^2\mathrm dt \int \limits_{-\infty}^{\infty}g(t)^2\mathrm dt}}.$$

Ahora defina $$H(x) = \sqrt{h(x)^2 + h_h(x)^2}$$ donde $h_h(x)$ es la transformada hilbert de $h(x)$ .

y nuestra medida de similitud viene dada por $$ s(f,g) = \sup_x H(x). $$

Definir la métrica como $$d(f,g) =-\log(s(f,g)).$$

Es $d(f,g)$ ¿una métrica en el sentido habitual? ¿Forma esto un espacio métrico?

PS : Asumimos requisitos de regularidad suficientes en este espacio para que exista la transformada de Hilbert.

Answer 1

Hay muchas, muchas cosas erróneas en tu pregunta. Es posible que lo que sigue no los solucione del todo (ya que no estoy seguro de tus motivaciones), pero al menos debería servirte para empezar en el camino correcto.

El punto de partida para usted parece ser la correlación

$$ \int f(t) g(t+x) \mathrm{d}t $$

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos

$$ \left| \int f(t) g(t+x) \mathrm{d}t\right| \leq \|f\|_2 \|g\|_2 \tag{*}$$

donde $\|\cdot\|_2$ denota el $L^2$ norma. Se sabe que la desigualdad de Cauchy-Schwarz (y, en general, de Hölder) es aguda (véase, por ejemplo, Hardy-Littlewood-Polya); es decir, que la igualdad en (*) se alcanza si y sólo si $$f(t) = C g(t+x)\tag{**}$$ donde $C$ es cualquier escalar.

Esto significa que para su modificado $h(x)$ , tienes que $|h(x)| = 1$ si y sólo si existe alguna constante $C$ tal que $f$ y $g$ están relacionados por (**), y en general $|h(x)| \leq 1$ .

Esto también significa que si quieres definir algún tipo de métrica de la forma $$ d(f,g) = F(\sup_{x} h ) $$ donde $F(1) = 0$ se necesita hacer un cociente por todas las simetrías, lo que hace que $d(f,g) = 0$ cuando $f \neq g$ .

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Con todo esto dicho, esto significa que el único espacio razonable en el que se puede hacer algo de $d(f,g)$ puede satisfacer el requisito de que $d(f,g) = 0 \iff f = g$ sería si se toma el espacio subyacente como

$$ L^2 / \sim $$

donde la relación de equivalencia es que $f \sim g$ si (**) se cumple para algunas constantes $C$ y $x$ . Si lo hace, encontrará la función cero algo solitaria y aislada, por lo que quizá sea mejor empezar con $L^2 \setminus \{0\}$ en su lugar.

En otras palabras, deberías estar mirando el espacio proyectivo asociado al espacio vectorial $L^2$ con la identificación adicional de que se identifican las traslaciones de las funciones. Ahora bien, los espacios proyectivos de Hilbert están bastante bien estudiados en el contexto de la mecánica cuántica (véase, por ejemplo, esta discusión sobre el modus operandi ), pero no es necesario ir en esa dirección.

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Así que propongo la siguiente modificación de sus definiciones.

Conjunto subyacente : Dejemos que $M$ sea el conjunto de $(L^2(\mathbb{R};\mathbb{C}) \setminus\{0\} )/ \sim$ tal que $f\sim g$ si existe $(C,x)$ tal que (**) se mantiene.

Medida de similitud : Dejemos que

$$ h(f,g) = \sup_{x} \frac{\left|\int \overline{f}(t) g(t+x) \mathrm{d}x\right|}{\|f\|_2\|g\|_2} $$

Se comprueba fácilmente que esto es independiente del representante en la clase de equivalencia $[f]\in M$ . Por la agudeza de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos que $h(f,g) = 1 \iff [f] = [g]$ . De lo contrario, $h(f,g) \in [0,1)$ . (Tenga en cuenta que $h(f,g) = 0$ es posible: elija $f,g$ tal que sus transformadas de Fourier $\hat{f},\hat{g} \in C^\infty_0(\mathbb{R};\mathbb{C})$ con soporte disjunto. Las traslaciones espaciales y el escalado absoluto no cambian el soporte de la frecuencia, por lo que por Parseval $h(f,g) = 0$ . Esto significa, en particular, que ninguna de las definiciones de $d$ en tu post original son buenas, ya que te encuentras con problemas de $\frac{1}{0}$ o $\log 0$ no siendo números reales).

Ahora claramente $h(f,g)$ es simétrica. Así que para obtener una "métrica" en el espacio $M$ basta con encontrar una función $F: [0,1] \to \mathbb{R}$ tal que

1. $F(1) = 0$
2. $F|_{[0,1)} > 0$
3. Para $d(f,g) = F\circ h(f,g)$ se cumple la desigualdad del triángulo.

Dado que estamos trabajando esencialmente con la esfera unitaria en un espacio de Hilbert, inspirado en la Ley del Coseno una elección razonable parece ser $F = \arccos$ con la rama habitual. Esto satisface trivialmente los dos primeros requisitos.

El tercer requisito lo comprobamos utilizando las fórmulas de suma de ángulos para $\cos$ lo que implica

$$ \arccos A + \arccos B = \arccos (A B - \sqrt{(1-A^2)(1-B^2)}) \tag{***}$$

Cuando se nos da la opción de $A,B\in [0,1]$ tenemos que $AB\in [0,1]$ y $\sqrt{(1-A^2)(1-B^2)}\in [0,1]$ tenemos que el argumento $(A B - \sqrt{(1-A^2)(1-B^2)}) \in [-1,1]$ y, por tanto, (***) es válido para la rama de $\arccos$ tal que su imagen de $[-1,1]$ es $[0,\pi]$ y es estrictamente decreciente.

Ahora, dejemos que $A = h(f_1,g)$ y $B = h(f_2,g)$ . Desde $h$ es independiente del representante, se supone que $f_1,f_2,g$ todos tienen unidad $L^2$ norma.

Entonces, observamos que $$ \langle f_1,f_2\rangle = \langle f_1,g\rangle\langle f_2,g\rangle + \langle f_1 - \langle f_1,g\rangle g, f_2 - \langle f_2,g\rangle g\rangle $$ así que por Cauchy-Schwarz en el último término $$ \langle f_1,f_2 \rangle \geq \langle f_1,g\rangle\langle f_2,g\rangle - \sqrt{ (1 - \langle f_1,g\rangle^2)(1 - \langle f_2,g\rangle^2)} $$ Tomando el sup sobre las traducciones esto implica $$ h(f_1,f_2) \geq A B - \sqrt{(1-A^2)(1-B^2)} \tag{****}$$

Combinando esto con la fórmula (***) y utilizando la monotonicidad de $\arccos$ obtenemos $$ \arccos h(f_1,g) + \arccos h(f_2,g) \geq \arccos h(f_1,f_2) $$ que es precisamente la desigualdad del triángulo $$ d(f_1,f_2) \leq d(f_1,g) + d(f_2,g) $$

Answer 2

Willie, acabas de darme todo lo que podía soñar, ¡también de forma matemáticamente brillante! (a reserva de la validez de lo que sigue). Todo lo que tengo que hacer es reemplazar $\log$ con $\arccos$ en mi pregunta modificada y por supuesto identificar las traducciones. Intentaré explicarlo brevemente a continuación resumiendo todo.

Considere $L^2(\mathbb{R}) \setminus \{0\}$ e imponerle la siguiente clase de equivalencia.

Clase de equivalencia $@$

Dejemos que $f$ sea una función y definamos su clase de equivalencia como $@ = \{kf_{\theta}(x+\tau)\}$ , $\theta \in [-\pi,\pi], k \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ , $\tau \in \mathbb{R}$ y $$f_{\theta}(x) = f(x) \cos(\theta) + f_h(x) \sin(\theta)$$ donde $f_h(x)$ es la transformada hilbert de $f(x)$ .

Denotemos este conjunto junto con esta clase de equivalencia como $R = (L^2(\mathbb{R}) \setminus \{0\})/@$ .

(Todo lo que hice es aparte de lo que está en la pregunta, he identificado las traducciones).

Ahora definimos la métrica igual que en la pregunta, excepto que sustituimos $\log$ con $\arccos$ . Sólo para resumir...

Dado $f,g \in R$ , dejemos que $$h(x) = \frac{\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(t)g(t+x)\mathrm dt}{\sqrt{\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(t)^2\mathrm dt \int \limits_{-\infty}^{\infty}g(t)^2\mathrm dt}}.$$

Ahora defina $$H(x) = \sqrt{h(x)^2 + h_h(x)^2}$$ donde $h_h(x)$ es la transformada hilbert de $h(x)$ .

y nuestra medida de similitud viene dada por $$ s(f,g) = \sup_x H(x). $$

Definir la métrica como $$d(f,g) = \arccos(s(f,g)).$$

Willie con su propuesta de su métrica en su set $M$ acaba de demostrar que el conjunto definido anteriormente $R$ con la métrica $d(f,g)$ es efectivamente un espacio métrico.

¿Cómo? Sólo tenemos que pasar de $R$ a $M$ (espacio de Willie, véase su respuesta para la definición) (espacio de Hilbert con traslaciones identificadas y elemento cero eliminado) sustituyendo el objeto $f$ por $F(x) = f(x) + if_h(x)$ . Eso es todo.

Si denotamos la métrica del coseno de Willie en $M$ como $w$ , entonces dado cualquier $f,g \in R$ creamos objetos $F,G \in M$ dado como $F(x) = f(x) + if_h(x), G(x) = g(x) + ig_h(x)$ .

Ahora se puede ver que $$d(f,g) = w(F,G)$$ Por lo tanto, $(R,d)$ es un espacio métrico.

Por favor, corríjanme si me equivoco.

¡PS : Si tuviera el poder, me gustaría dar a la respuesta de Willie mil upvotes! (como agradecimiento) .

PS : He estado usando $\log$ en todos mis experimentos, pero ahora lo sustituyo por $\arccos$ (Me gustaría llamar a esto la métrica del coseno de Willie). Si los resultados son físicamente útiles y si por casualidad llego a publicarlo, me gustaría citar este Q&A y dar crédito a Willie, robjohn y todos los demás que han comentado sobre esto.