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¿Cuál es la respuesta a la paradoja del disco de Feynman?

[¡Esta pregunta está certificada como libre de Higgs!]

Richard Feynman en Conferencias sobre física El Vol. II Sec. 17-4, "Una paradoja", describe un problema en la inducción electromagnética que no se originó con él, pero que, sin embargo, se ha conocido como la "Paradoja del disco de Feynman". Funciona así: Un disco (según la ortografía de Feynman) que gira libremente alrededor de su eje tiene un conjunto de cargas estáticas en forma de perlas cerca de su perímetro. El disco en él también tiene un fuerte campo magnético cuyo eje norte-sur es paralelo al eje de rotación del disco. El disco con sus cargas estáticas incrustadas y su campo magnético está inicialmente en reposo.

Sin embargo, el campo magnético es generado por una pequeña corriente superconductora. Se permite que el disco se caliente hasta que el campo magnético se colapse.

La paradoja es la siguiente: La conservación del momento angular dice que tras el colapso del campo, el disco debe permanecer inmóvil, por supuesto. Sin embargo, también se podría argumentar que, dado que el campo magnético que colapsa creará un fuerte campo eléctrico circular que es tangencial al perímetro del disco, las cargas estáticas serán empujadas por ese campo y el disco necesariamente comenzará a girar.

No hace falta decir que no se pueden tener las dos cosas.

Feynman, bendito sea, parecía tener una visión extraordinariamente optimista de la capacidad de los demás para descifrar algunos de sus enigmas físicos más crípticos. Como resultado, fui una de las muchas personas que hace años descubrió, para mi disgusto, que nunca se molestó en responder a su propia pregunta, al menos no en ninguna fuente que haya visto.

En las décadas transcurridas desde entonces, esa falta de resolución ha producido un número sorprendentemente grande de intentos publicados para resolver la Paradoja del Disco de Feynman. Muchos de ellos se resumen en un artículo escrito y actualizado hace una década por John Belcher (MIT) y Kirk T. McDonald (Princeton) (Advertencia: Puedo ver el documento, pero puede tener restricciones de acceso para otros).

Mi problema es el siguiente: He llegado más o menos por accidente a lo que parece ser una resolución bastante buena de la paradoja, y no es la descrita en ninguno de los artículos que he visto sobre ella. Pero no puedo echarme atrás fácilmente, porque la solución es demasiado sencilla una vez que la miras de la manera correcta. Creo que

También creo que es muy probable que la solución de Feynman haya sido relativamente simple y no una especie de ejercicio tremendamente detallado de correcciones relativistas. Después de todo, estaba tratando de enseñar a los estudiantes de primer año, ¡y honestamente parecía pensar que todos lo entenderían con un poco de pensamiento!

Así que, ayúdenme aquí amigos: ¿Alguien sabe con seguridad qué Feynman's ¿la solución a este pequeño cachorro fue? En esta línea, ¿está Laurie M Brown de Northwestern por casualidad vinculada a este grupo? ¡No puedo imaginarme a nadie que sepa más sobre los trabajos publicados de Feynman!

Por supuesto, explicaré por qué creo que hay una solución sencilla, pero sólo después de ver si ya hay algo sencillo (pero aparentemente difícil de encontrar) por ahí.

Anexo: ¡La respuesta!

Siempre me complace que se pueda responder a una pregunta de forma tan específica y exacta. @JohnMcVirgo descubrió la respuesta, justo en el Volumen II de las Conferencias Feynman... sólo 10, cuéntenlos 10, capítulos después, en el último párrafo de FLoP II 27, en la Sección 27-6 ("Momento de campo"), p 27-11:

¿Recuerdas la paradoja que describimos en el apartado 17-4 sobre un solenoide y unas cargas montadas en un disco? Parecía que cuando la corriente se apagaba, todo el disco debía empezar a girar. El enigma era: ¿De dónde procedía el momento angular? La respuesta es que si tienes un campo magnético y unas cargas, habrá algo de momento angular en el campo. Debe haber sido puesto allí cuando el campo fue construido. Cuando el campo se apaga, el momento angular se devuelve. Así que el disco de la paradoja sería empezar a girar. Este místico flujo de energía circulante, que al principio parecía tan ridículo, es absolutamente necesario. Existe realmente un flujo de impulso. Es necesario para mantener la conservación del momento angular en todo el mundo.

Feynman insinúa la respuesta anterior en capítulos anteriores, pero nunca hace una referencia directa a su pregunta original.

John McVirgo, de nuevo, gracias. Revisaré en detalle el FLoP II 27 antes de decidir si publicar ese "otro punto de vista" que mencioné. Si Feynman ya lo cubre, añadiré otro apéndice sobre por qué creo que es importante. Si el punto de vista no está claro, tendré que hacer algunos gráficos sencillos para explicar cómo puede añadir algo de claridad al funcionamiento de la parte de conservación del momento angular.

Adenda 2012-07-08: ¡No es la respuesta!

En los comentarios, @JohnMcVirgo ha señalado muy amablemente que he leído en su respuesta más de lo que él pretendía, y por esa razón ha considerado que no debía recibir la nota de la respuesta. Al encontrar ese trozo de texto al final del capítulo que John mencionó, puede que haya respondido de hecho a mi propia pregunta, al menos en el sentido literal de "¿qué dijo Feynman al respecto?" Pero John también señala su propia sorpresa sobre la forma en que Feynman respondió, que es diferente de lo que señalaron tanto él como @RonMaimon. Así que por ahora Dejo esta pregunta abierta. En algún momento le daré una respuesta, pero sólo después de haber leído sobre FLoP II 27 hasta el punto de sentir que lo conozco a fondo.

Adenda 2012-07-08: ¡Nueva respuesta!

Bueno, ¡fueron varias semanas cortas! Los añadidos de @RonMaimon a su respuesta inicial, combinados con su último comentario en el que aclara la diferencia entre momento de campo y momento "mecánico", demuestran una profunda comprensión de las cuestiones. Como @JohnMcVirgo ya sugirió el texto actualizado de Ron Maimon como respuesta, estoy de acuerdo y lo he designado así. Sigo estando profundamente agradecido a John por señalarme el FLoP II 27, ya que sin esa pista nunca habría encontrado la respuesta de Feynman en sus propias palabras.

En algún momento plantearé mi "otra visión" de los problemas de Poynting como una nueva pregunta. Ahora tengo dos de ellas pendientes, ya que también sigo planeando una actualización Cámara de nubes doble problema en algún momento.

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Recuerdo que Feynman demostró que los campos magnéticos tienen momentos de ambos tipos. Déjame ver si puedo buscar más...

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Por el título, pensé que te referías a la otra paradoja del disco de Feynman. No había escuchado esta antes. Es ciertamente interesante.

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Por cierto: el profesor McDonald nunca puso ninguna restricción de acceso a sus ejemplos. Por lo tanto, si uno tiene problemas para acceder al enlace, normalmente el fallo es otro.

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heathrow Puntos 25

La conservación del momento angular no predice que el disco permanezca inmóvil, porque el campo en este caso tiene momento angular. Las cargas producen un campo eléctrico, y el campo magnético no es paralelo a él, por lo que hay un vector de Poynting que da vueltas, y el momento angular del campo sólo se convierte en momento angular mecánico cuando el campo magnético desaparece. El movimiento del disco es necesario para conservar el momento angular, ya que de otro modo el momento angular se irradiaría en el campo radiativo cuando el campo magnético colapsa, y en este caso, parte del momento angular es absorbido por el disco.

Feynman incluye una versión de este rompecabezas en las Conferencias Feynman Vol II, y lo resuelve. Lo único que no subraya es que el momento del campo y el momento angular se conservan durante los cambios lentos sin tener en cuenta el campo radiativo, que no está excitado.

EDIT: Sobre la paridad con los campos B

Leyendo los comentarios, parece que te preocupa que el disco gire en un sentido con un signo de la carga, y gire en el otro sentido con el otro signo de la carga. Esto parece extraño, porque el campo B es completamente invariante en rotación alrededor del eje Z y también lo es el campo E (suponiendo que las cargas puntuales sean pequeñas y densas), y parece raro que la cosa pueda girar en una dirección ¿cómo sabe que debe ir en una dirección y no en la otra?

La razón es que cuando se piensa en la paridad (por qué una dirección y no la otra), el vector B no es natural. El vector B tiene una regla de la mano derecha al definir cómo está hecho y cómo actúa. Parece que viola la paridad, pero cuando usas la regla de la mano derecha dos veces (una vez para hacer B y otra para hacer fuerza), el resultado es invariante bajo paridad. Pero las imágenes parecen dar fuerzas extrañas no físicas. Esto es cierto para todos los campos B - incluso el campo B que hace círculos alrededor de un cable que lleva corriente. ¿Cómo sabe que debe ir en una dirección y no en la otra?

La forma más fácil de resolverlo es dibujar el campo B no como un vector, sino como un pequeño remolino en un plano perpendicular a la dirección del campo B. Hay que pensar que B (a efectos de paridad) vive realmente en el plano perpendicular al campo B, y que se arremolina en una determinada dirección. En el caso del disco, el campo B que sale del disco no sale realmente, sino que sale en forma de remolino girando en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano del disco. Esto refleja el movimiento físico de las cargas en el plano del disco que dan lugar al campo B en primer lugar.

El swooshing del campo B elimina cualquier confusión respecto al signo de la rotación del disco. Cuando se añade un campo E procedente de las cargas puntuales estáticas circundantes, se genera un momento angular de campo porque el vector de apuntamiento convierte el swooshing del campo B en un flujo de momento real con un momento angular definido. De ahí proviene el momento angular para hacer girar el disco.

Has pedido una referencia en los comentarios. La referencia es el volumen II de las conferencias de Feynman, donde habla de un círculo de cargas que forma un anillo alrededor de un cable, y lo utiliza para motivar el momento de campo y el momento angular. Olvidé los detalles, pero es el mismo tipo de rompecabezas. Estas cosas se discutieron a finales del siglo XIX, cuando se descubrió el momento de campo. Maxwell, Hertz, Pointing, Lorentz y otros contribuyeron, pero no leí esta literatura original, ya que resolver los rompecabezas de Feynman usando el formalismo moderno te da el contenido de esta literatura más rápidamente.

Feynman solía plantear rompecabezas de este tipo para resumir la literatura antigua y olvidada para un público moderno, para mantenerla viva. Este fue un servicio maravilloso que hizo a las generaciones anteriores, y es una de las razones por las que es tan venerado no sólo como investigador sino como profesor. Los rompecabezas son cada uno de los interrogantes realmente profundos de una generación anterior de físicos.

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Ron, ¿tienes alguna referencia de dónde está la resolución que mencionas? Estoy familiarizado con su discusión sobre la inercia y los campos, pero nunca recuerdo que dijera a bocajarro que "gira" o "no gira", y por qué. De hecho, recuerdo que me quedé con la clara impresión de que Feynman no estaba del todo contento con su resolución provisional, con la que estoy de acuerdo parece para haber sido "va a girar". Jugué con eso durante algún tiempo y quedé decididamente insatisfecho. Al menos, produce una relación realmente impar entre el signo de la carga y el momento angular, que parecía terriblemente arbitraria.

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@TerryBollinger: No hay ninguna referencia reciente salvo Feynman Vol II, y Feynman sabía la resolución con seguridad. La rotación no es arbitraria el vector de apuntamiento te dice hacia dónde va, y no rompe la invariancia rotacional, porque B es un pseudovector. Puedes pensar en lo que estás haciendo como una transferencia del momento angular de las corrientes al disco. Feynman está repitiendo famosos enigmas de finales del siglo XIX, que se resolvieron con la introducción del momento de campo, pero que todos los demás, que no conocen la historia como Feynman, olvidaron.

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Es interesante que el propio Feynman tenga claro que no es su rompecabezas, aunque en la literatura posterior acabe siendo referenciado como suyo. Este fin de semana publicaré algo sobre una forma algo diferente de plantear la cuestión, una que me gusta porque parece (si lo tengo claro) dar una visualización más limpia de cómo se conserva el concepto convencional de momento angular. (¡Ningún vector de Poynting se verá perjudicado!)

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Ian Agol Puntos 33953

El capítulo 17 precede al 27, que trata del momento de campo, por lo que busca una explicación sencilla que implique el momento angular mecánico. El momento angular inicial del sistema es transportado por la corriente inicial en la bobina, y así no hay paradoja.

Obsérvese también que el campo magnético no puede colapsar inmediatamente, sino que tiene que disipar la energía magnética almacenada en la resistencia de la bobina que transferirá el momento angular de la corriente en la bobina al disco, haciendo que éste gire.

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John, gracias, le echaré un vistazo. No recuerdo lo que hay en el Vol II Ch 27 sólo por el número (pero entonces nunca lo hago...). Actualización: ¡buena referencia!, repasándolo ahora...

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¡¡Delicioso!! Me quito el sombrero ante usted, señor, ha encontrado exactamente lo que buscaba y nunca había encontrado: ¡La respuesta del propio Feynman, a bocajarro y sin ninguna ambigüedad, a su versión de la paradoja del disco con cargas! Te respondo, y añado un anexo con la cita de Feynman. Todo este tiempo estaba ahí en mi libro, ¡muy lejos en otra parte del Volumen II!

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@TerryBollinger No sabía que Feynman afirmó que el momento del campo compensaba el momento angular que faltaba en el problema del disco en la sección 27-6. Como esto viene después, pensé que buscaba una explicación más mundana como que el momento angular provenía del momento angular de las cargas en movimiento en la corriente. Creo que deberías eliminar mi respuesta como correcta, y añadir tu propia respuesta basada en esa sección, o hacer correcta la respuesta de Ron que es similar. Sin embargo, el momento angular de la corriente ciertamente contribuye y me sorprende que Feynman no lo mencione.

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JohnOpincar Puntos 1798

La corriente en la bobina difícilmente puede explicar el momento, ya que la misma corriente podría ser proporcionada por cargas opuestas que van en sentido contrario. Estas cargas tendrían un momento angular opuesto a la primera, mientras que producen la misma corriente. Si quieres comprobar a dónde va todo el momento deberías echar un vistazo a un artículo llamado "hidden momentum", que implica a la relatividad. Sin embargo, creo que no todo el documento es correcto, todavía no piensa en todo el sistema y pasa por alto algunas partes.

Volviendo a la paradoja de Feynman, se puede ver que la situación descrita es medio completa. Uno nunca se pregunta cómo las cargas llegaron al campo magnético, o cómo el campo magnético llegó a las cargas. Imaginemos que el disco cargado ya estaba aquí, rodeando una bobina pasiva sin corriente, entonces cuando uno enciende la corriente, crea un campo magnético variable, y por lo tanto un campo eléctrico, eso es sólo inducción, por lo tanto las cargas deben moverse y el momento angular de ambos campo + cargas es igual a 0 (radiaciones aparte, pero está relacionado). Entonces si las cargas están en reposo en un campo magnético, eso sólo significa que ya disiparon el momento angular que obtuvieron de la inducción.

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Reubend Puntos 28

Acabo de encontrarme con este viejo post, y pensé en compartir otra respuesta que conozco, del propio Feynman. Me encanta cómo Feynman introduce los grandes conceptos desde el principio y los va insinuando para que, cuando por fin llegas a ellos, estés emocionado y preparado. En el capítulo 15, justo antes de la paradoja, Feynman introduce el potencial vectorial $\mathbf{A}$ . Esto es básicamente lo que Ron Maimon explicaba más arriba con el momento del campo y el vector de Poynting (a mí también me gusta recordar el campo magnético como un swoosh, ¡gracias!). Pero, ahora que lo leo, Feynman parece realmente arrastrarse por el planteamiento del capítulo 27 -- se nota que no es su idea física preferida.

Con el potencial vectorial fresco en nuestras mentes, junto con su sugerencia de generalizar a la situación idealizada en el enunciado original del problema, tal vez nos estaba guiando aquí...

Capítulo 21 La ecuación de Schrödinger en un contexto clásico: Un seminario sobre la superconductividad

Este es el último capítulo de todo el asunto, y una joya de la corona. Por lo que he aprendido, los superconductores eran un poco frustrantes para él no mucho antes de la hora de las conferencias, y le dolió un poco que saliera a la luz la teoría de la BCS (era una solución tan bonita que quizá desearía haberla pensado él mismo).

De todos modos, me parece un capítulo joya de la corona no sólo porque es el último, y una explicación un poco más avanzada de las cosas, sino también porque consigue atar muchas cosas.

Entiendo que podemos tratar el sistema en un sentido ideal, como un superconductor, y aplicar nuestros resultados a partículas individuales (o puntos cargados en un disco) afectados por el encendido (o apagado) de $\mathbf{A}$ (o flujo de $\mathbf{B}$ a través de una superficie). Todo el capítulo es una auténtica maravilla, así que no lo repasaré todo aquí, pero lo esencial es que la amplitud de la ubicación de una partícula cargada cambia en presencia de $\mathbf{A}$ de forma exponencial y esto resulta en un cambio en el operador de momento en el Hamiltoniano de $\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\nabla$ a $\hat{P}=\frac{\hbar}{i}\nabla-q\mathbf{A}$ . Así que un cambio repentino en $\mathbf{A}$ no cambia la función de onda inmediatamente. Con cualquier momento que la partícula comenzó con (digamos, $mv=0$ ), ahora debe moverse con un impulso (cambio en $mv$ ) igual al potencial vectorial por la carga para que la conservación local del momento se mantenga durante el breve tiempo de colapso. Es decir, es total p-momentum asociado a $\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\nabla$ se convierte en $\mathbf{p}=m\mathbf{v}+q\mathbf{A}$ . Esto mantiene la conservación del momento localmente, ya que $\mathbf{P}=\mathbf{p}-q\mathbf{A}$ .

Con la conservación local de la densidad de probabilidad $\psi\psi^\ast$ si la densidad de probabilidad disminuye en un lugar, debe aumentar en otro. Es decir, debe haber una densidad de probabilidad actual ¡! Aquí es donde entra la parte superconductora. Para una función de onda que describa un grupo de partículas cargadas en un solo estado (como los pares de cobre de un SC), $q\psi\psi^\ast$ describe un densidad de carga eléctrica real . Así que una corriente de densidad de probabilidad es sólo una densidad de corriente eléctrica real para un superconductor.

Volviendo a lo anterior, un solenoide hecho de alambre superconductor (un anillo superconductor) con una corriente que fluye a través de él tendrá un flujo que se opone a la corriente (en realidad es al revés, la corriente se opone al flujo aplicado). Cuando la temperatura aumenta y la corriente en el solenoide llega a cero debido a la restauración de la resistencia en el cable, se genera un campo eléctrico alrededor del solenoide acelerando las cargas (puntos en un disco) que estaban inicialmente (si es artificialmente) en reposo, respondiendo con un cambio en $m\mathbf{v}$ igual a $q\mathbf{A}$ . Así que el disco gira. ¡Uf!

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Jordan L Puntos 24

Como se sabe, un campo magnético cambiante produce un campo eléctrico inducido que es tangencial al perímetro del disco, por lo que cuando el campo magnético se colapsa debe haber un campo eléctrico inducido.

Ahora bien, como el momento angular inicial del sistema es cero, y no hay ninguna fuerza externa que actúe sobre el sistema, uno debería pensar que el momento angular final del sistema debería seguir siendo cero, pero en cambio el disco gira. Esto se debe a que el campo eléctrico inducido es una parte de la onda electromagnética que tiene tanto momento como energía (un buen ejemplo de esto es que el láser que se produce por emisión estimulada de radiación electromagnética se utiliza para cortar diamantes, lo que demuestra que las radiaciones electromagnéticas tienen momento).

Y si no hubiera cuentas en el perímetro, entonces el campo eléctrico inducido habría transferido su momento a las partículas del medio circundante y la energía se habría disipado.

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