Límite existe theoritically, pero gráficamente hay hay una asíntota vertical. Por qué es así.

Question

Encontrar el límite de $\lim_{x\to 0}\frac{2^x-1-x}{x^2}$
Usé la sustitución $x=2t$
$\lim_{x\to 0}\frac{2^x-1-x}{x^2}=\lim_{t\to 0}\frac{2^{2t}-1-2t}{4t^2}=\frac{1}{4}\lim_{t\to 0}\frac{2^{2t}-2\times2^t+2\times2^t+1-2-2t}{t^2}$
$=\frac{1}{4}\lim_{t\to 0}\frac{(2^{t}-1)^2+2\times2^t-2-2t}{t^2}$
$=\frac{1}{4}\lim_{t\to 0}\frac{(2^{t}-1)^2}{t^2}+\frac{1}{2}\lim_{t\to 0}\frac{2^t-1-t}{t^2}$
$\lim_{x\to 0}\frac{2^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}(\ln2)^2$

Pero cuando veo la gráfica de la función, hay una asíntota vertical en $x=0$
Y antes de la $x=0$, la función se aproxima a $\infty$ y $x=0$, la función se aproxima a $-\infty$.
Eso significa que no debería existir límite de, límite theoritically viene pero gráficamente no existe límite. ¿Qué pasa? ¿Por qué es así? No entiendo. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Tu error está en que usa el límite de las leyes erróneamente. El límite de una suma es la suma de los límites , si los dos límites existen. Dado que no se ha demostrado que en su uso, y de hecho no lo hace, el razonamiento es erróneo y, por tanto, no contradice el hecho de que el límite no existe.

Tenga en cuenta también que usted no puede usar la regla de L'Hospital para demostrar que el límite no existe. Considere la posibilidad de $f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x^2})$$g(x) = x$. A continuación, $\frac{f(x)}{g(x)} \to 0$ $x \to 0$ pero $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ es ilimitado en cualquier barrio de $0$, a pesar de $f(x),g(x) \to 0$$x \to 0$. Por lo que la no existencia del límite, después de 'aplicación' de L'Hospital de la regla (ignorando la condición de que el límite de la relación de los derivados que existe) no implica la no existencia del límite original!

Answer 2

Hay un error en tus pasos.

Observar que, como $x \to 0$, por la expansión de Taylor, uno tiene e^u=1+u+\frac{u^2}2+O(u^3) de $$ $$ dando

\frac{2^x-1-x}{x^2}=\frac{e^{x \ln $$ 2} -1-x} {x ^ 2} = \frac {-1 + \ln 2}{x}+\frac{1}{2}(\ln2)^2+O(x) $$

que diverge como $x \to 0$.

Answer 3

$\lim_{x\to 0} \frac {2 ^ x-1-x} {x ^ 2} $

Pequeño $x$, $2 ^ x = e ^ {x \ln 2} \approx x 1 + \ln 2+O(x^2) $ lo $\frac{2^x-1-x}{x^2} = \frac{1+x \ln 2 + O(x^2)-1-x} {x ^ 2} = +O(x^2) \frac{x (\ln 2-1)} {x ^ 2} = \frac{(\ln 2-1) +O(x)} {x} $ \to \infty $x \to 0$.

En general, $\lim_{x \to 0} \frac {a ^ x-1-x\ln un} {x ^ 2} $ existe y es

$\begin{array}\\ \lim_{x \to 0}\frac{e^{x \ln a}-1-x\ln a}{x^2} &=\lim_{x \to 0}\frac{1+(x \ln a)+(x \ln a)^2/2+O(x^3)-1-x\ln a}{x^2}\\ &=\lim_{x \to 0}\frac{(x \ln a)^2/2+O(x^3)}{x^2}\\ &=\lim_{x \to 0}( \ln a)^2/2+O(x)\\ &=( \ln a)^2/2\\ \end{matriz} $

Answer 4

Puesto que la relación original es de la forma indeterminada $\frac{0}{0}$, utilizamos la regla de L'Hopital:

$$ \lim_{x\to 0} \frac {2 ^ x-1-x} {x ^ 2} = \lim_ {x\to 0} \frac {2 ^ x\ln 1 {2}} {2 x} = \frac {\ln 1 {2}} {0} = \infty $$

Por lo tanto el límite no existe en $x=0$ y la asíntota vertical tiene total sentido.