$v_1,v_2$ son vectores propios de $A$. ¿Es cierto que $v_1-v_2$ es vector propio de $A$?

Question

Que $A \in \mathcal{M}_{12 \times 12}$ y $v_1,v_2$ sea vectores propios de $A$ tal que $Av_1 = v_1$ y $Av_2 = 2v_2$. ¿Es cierto que % de vector $v_1 - v_2$no es vector propio de $A$?

Mi respuesta:

Tenemos $A(v_1 - v_2) = Av_1 - Av_2 = v_1 - 2v_2$. Supongamos que $v_1-v_2$ es vector propio de $A$. Existe así $\lambda \neq 0 \in \mathbb{R}$ tal que $v_1 - 2v_2 = \lambda (v_1 - v_2)$por lo tanto el $(1- \lambda)v_1 + (\lambda - 2)v_2 = 0$%. Por supuesto, $v_1,v_2$ son la independencia lineal así $\lambda =1$ y $\lambda=2$. Tenemos conflicto, entonces la respuesta es falso.

Pero la respuesta en mi libro es verdadero. ¿Podría usted decirme por qué?

Answer 1

La lógica matemática es correcta, autovectores no generalmente se combinan para forma nuevos vectores propios.

Así que la respuesta a tu pregunta del título es No, no cierto es que el $v_1-v_2$ es un vector propio.

La respuesta a la pregunta de su libro es sí, es cierto que $v_1-v_2$ es no un vector propio.

Answer 2

Una combinación lineal de dos vectores propios es sólo un vector propio cuando los dos vectores propios poseen el mismo valor propio.