Valores propios de las matricidades en bloque

Question

Si los valores propios de una matriz $A$ son $ \lambda_1 , \lambda_2 , \dots , \lambda_n $ , ¿cuáles son los valores propios de la matriz?

$ \begin {bmatrix}0 &A \\A &0 \end {bmatrix}$

A partir de algunos ejemplos numéricos he encontrado que los valores propios son sólo $ \lambda_1 $ , $ \lambda_2 , \dots , \lambda_n $ y $- \lambda_1 $ , $- \lambda_2 , \dots ,- \lambda_n $ pero no estoy seguro de cómo probarlo. He intentado tomar $ \det (A - \lambda I) = 0 $ pero no pude encontrar una manera de trabajar con los resultados. ¿Dónde es un buen lugar para empezar?

Answer 1

Deje que $$B= \begin {bmatrix} 0 & A \\ A & 0 \\ \end {bmatrix}.$$ Observamos que $$ \begin {bmatrix} 0 & A \\ A & 0 \\ \end {bmatrix} \begin {bmatrix} \mathbf {u} \\ \mathbf {v} \\ \end {bmatrix}= \lambda\begin {bmatrix} \mathbf {u} \\ \mathbf {v} \\ \end {bmatrix}$$ implica que $A \mathbf {v}= \lambda\mathbf {u}$ y $A \mathbf {u}= \lambda\mathbf {v}$ . Esto implica $ \mathbf {u}$ satisface $$A^2 \mathbf {u}= \lambda ^2 \mathbf {u}$$ y $ \mathbf {v}$ satisface $$A^2 \mathbf {v}= \lambda ^2 \mathbf {v}.$$

Así que los vectores propios de $B$ debe tener la forma $$ \begin {bmatrix} \mathbf {u} \\ \mathbf {v} \\ \end {bmatrix}$$ donde $ \mathbf {u}$ y $ \mathbf {v}$ son ambos eigenvectores de $A^2$ de tal manera que $ \mathbf {u}$ y $ \mathbf {v}$ pertenecen al mismo eigen-espacio. Este vector propio de $B$ tiene un valor propio correspondiente $ \pm \lambda $ .

Concluimos que los valores propios de $B$ pertenecen a $$\{ \pm \lambda : \lambda \text { is an eigenvalue of } A\}.$$

Finalmente, comprobamos que estos valores propios se logran. Si $ \mathbf {v}$ es un vector propio de $A$ con eigenvalor $ \lambda $ Entonces $$ \begin {bmatrix} \mathbf {v} \\ \mathbf {v} \end {bmatrix}$$ es un vector propio de $B$ con eigenvalor $ \lambda $ y $$ \begin {bmatrix} - \mathbf {v} \\ \mathbf {v} \end {bmatrix}$$ es un vector propio de $B$ con eigenvalor $- \lambda $ .

Answer 2

Pista: usando la última fórmula en esta lista note que $$ \det\left ( \begin {bmatrix}0 &A \\A &0 \end {bmatrix} - \lambda I_{2n} \right )= \det\left (- \lambda I_n-A \right ) \det\left (- \lambda I_n+A \right ) $$

Answer 3

Si $x=(x_1, \ldots , x_n)^T$ es un vector propio de $A$ para que $Ax = \lambda x$ Considere el vector $x' = (x_1, \ldots , x_n, x_1, \ldots x_n)^T$ . ¿Qué puede decirse del producto de su matriz con $x'$ ?