¿Existe un significado geométrico de la norma de Frobenius?

Question

Tengo una matriz definida positiva $A$. Voy a elegir su norma de Frobenius $\|A\|_F^2$ como función de coste y luego minimizar $\|A\|_F^2$. Pero creo que necesito encontrar una razón para convencer a la gente de que es razonable elegir $\|A\|_F^2$ como función de coste. Por lo tanto, me pregunto si hay algún significado geométrico de la norma de Frobenius. Gracias.

Edición: aquí $A$ es una matriz de 3 por 3. En el problema en el que estoy trabajando, la gente suele elegir $\det A$ como función de coste ya que $\det A$ tiene una interpretación geométrica obvia: el volumen del paralelepípedo determinado por $A$. Ahora quiero elegir $\|A\|_F^2$ como función de coste debido a las buenas propiedades de $\|A\|_F^2$. Es por eso que estoy interesado en el significado geométrico de $\|A\|_F^2.

Answer 1

Para dar intuición, veamos una clase particularmente agradable de matrices. Supongamos que la matriz $A$ es simétrica. Entonces podemos encontrar una base de $n$ eigenvectores ortonormales $v_1,\cdots v_n$ con eigenvalores $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Cada eigenvalor representa geométricamente el "factor de estiramiento" en la dirección de su eigenvector asociado.

La norma de Frobenius de $A$ en este caso es $$\|A\|_F =\sqrt{\text{Tr}(AA^t)}=\sqrt{\text{Tr}(A^2)}=\sqrt{\lambda_1^2+\cdots+\lambda_n^2}.$$ Trabajando en la base $v_1,\cdots v_n$, considera el cuadro que es la imagen del cubo unitario bajo $A$. La norma de Frobenius es la diagonal de ese cuadro y el determinante es el volumen.

La norma usual definida como $\sup_{\|x\|=1}\|Ax\|$ corresponde al lado más largo del cuadro.

Answer 2

En tres dimensiones (más fácil de visualizar) sabemos que el producto escalar triple de tres vectores, digamos $ a, b, c $, es el determinante de una matriz con esos vectores como columnas y el módulo es el volumen del paralelepípedo generado por $ a, b $ y $ c $.

La norma de Frobenius al cuadrado es la longitud promedio al cuadrado de las cuatro diagonales del espacio del paralelepípedo. Esto se puede demostrar fácilmente. Las diagonales son:

$ d_1 = a + b + c \\ d_2 = a + b - c \\ d_3 = b + c - a \\ d_4 = c + a - b. $

Calcule y sume las longitudes al cuadrado como $ d_1^T d_1 + d_2^T d_2 + d_3^T d_3 + d_4^T d_4. $ Las cosas se cancelan y uno se queda con $ 4 ( a^T a + b^T b + c^T c) $ que es exactamente cuatro veces el cuadrado de la norma de Frobenius.

La prueba en más dimensiones sigue las mismas líneas, solo que con más lados y diagonales.

La norma de Frobenius al cuadrado del Jacobiano de un mapeo de $\mathbb{R}^m$ a $\mathbb{R}^n$ se utiliza cuando se desea favorecer las reducciones de volumen bajo el mapeo en una tarea de minimización. Debido a su forma, es mucho más fácil diferenciar la norma de Frobenius al cuadrado que cualquier otra medida que cuantifique el cambio de volumen, como el módulo del determinante del Jacobiano (que solo se puede usar si $ m = n $).