He estado buscando pruebas para el teorema de Pitágoras que no utilicen el cálculo del área sino el cálculo, los números complejos o cualquier otra forma interesante de demostrarlo.
Me encantaría ver alguna prueba interesante, Shay
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Mark
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Una prueba elegante. Consideremos el vector \mathbf{c} en el plano complejo: \mathbf{c}= a + \mathbf{i}b , donde a y b son valores escalares, y a,b > 0 . Consideremos ahora el reflejo de \mathbf{c} en la línea de un ángulo de 45 grados (pi/4 radianes) que pasa por el origen, llámese \mathbf{d} . \mathbf{d} = b + \mathbf{i}a y \mathbf{d} tiene claramente la misma longitud que \mathbf{c} .
Ahora tome el producto vectorial de c y d . Que tiene la misma longitud que el cuadrado de la longitud de c y en términos de coordenadas polares, está en un ángulo de pi radianes (en virtud de las propiedades multiplicativas de los números complejos expresados como coordenadas polares).
así que \mathbf{c\cdot d} = i(c^2) = (a+ib)\cdot (b+ia) = ab-ba+i(a^2 + b^2) = i(a^2 + b^2) .
c^2 = a^2 + b^2
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Bueno, eso depende de cómo estés dispuesto a llamar al teorema de Pitágoras, así como del tipo de suposiciones con las que estés dispuesto a empezar. Uno podría argumentar que la maquinaria de ciertas partes del cálculo y los números complejos depende de el teorema de Pitágoras, por lo que cualquier prueba de este tipo es circular. Se podría argumentar que hay varios enunciados equivalentes del teorema de Pitágoras, y que las pruebas de su equivalencia no son triviales.
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Haciéndome eco de Qiaochu: realmente depende de las herramientas que tengas. Por ejemplo, hay un "Teorema de Pitágoras" que se cumple para cualquier espacio de producto interior (en particular, para los planos real y complejo): si ⟨x,y⟩=0 (si x y y son ortogonales), entonces ‖ utilizando la definición \lVert\mathbf{z}\rVert = \sqrt{\langle \mathbf{z},\mathbf{z}\rangle} . Sin embargo, el grado de interés parece bastante subjetivo...
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Gracias por tu comentario. He visto una "prueba" del teorema de Pitágoras que utiliza números complejos pero es circular y por tanto inválida. Lo único que busco es una demostración de que para un triángulo rectángulo a^2+b^2=c^2, sin utilizar el cálculo de áreas geométricas.
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Para secundar y ampliar la afirmación de Qiaochu, la propia definición de norma de un número complejo enuncia efectivamente el Teorema de Pitágoras como axioma. Supongo que se podría considerar la multiplicatividad de la norma -es decir, el hecho de que se comporte como se espera bajo la escala y las rotaciones- como una "prueba" de que se comporta como una longitud, y por tanto como una justificación indirecta del teorema de Pitágoras, pero eso parece algo indirecto...
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Arturo Magidin, acabo de ver tu prueba. Tú mismo lo has dicho, no es interesante porque has definido la distancia utilizando el resultado del teorema de Pitágoras.
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@shayfalador: De nuevo: el problema es que si no dices lo que eres suponiendo que y lo que no está asumiendo, entonces su pregunta no tiene sentido. "Interesante" es subjetivo, por lo que no es algo que nadie más que tú pueda responder (no es una buena pregunta para este sitio). Si no dices qué que estás dispuesto a asumir y lo que no, entonces no obtendrás buenas respuestas. Incluso escribiendo " a^2+b^2=c^2 " no tiene sentido si no se dice exactamente lo que se asume y lo que no, o cuáles son las operaciones media en ese contexto.
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Estoy dispuesto a ver cualquier prueba (sobre todo si te parece interesante) que no asuma cosas como la distancia entre (a,b) a (0,0) es \sqrt(a^2+b^2) . Gracias de nuevo.
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@shayfalador: No estás abordando el problema. Por un lado, si no estás asumiendo nada sobre las distancias, entonces ¿qué hace " a^2+b^2=c^2 " incluso media ? Tienes que decir lo que son asumiendo, no sólo lo que no eres.
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No puedo ser más específico que eso. Cualquier axioma, pero los que definen la distancia como he dicho, está bien.