Demostrar que no puede igualar la suma $a_1+a_2+....+a_n+b_1+b_2+...+b_n$ $0$

Question

Se nos da una $n \times n$ junta, donde $n$ es un número impar. En cada celda de la junta directiva de cualquiera de las $+1$ o $-1$ está escrito. Deje $a_k$ $b_k$ indicar los productos de los números en la $k$-ésima fila y la $k$-th columna, respectivamente. Demostrar que la suma $a_1+a_2+\cdots+a_n+b_1+b_2+\cdots+b_n$ no igual a $0$

Empecé con algunos ejemplos:

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Si su a $3 \times 3$ junta:

usted puede tener:

1. cinco $-1$'s y cuatro $1$'s
2. cinco $1$'s y cuatro $-1$'s
3. tres $1$'s y seis $-1$'s
4. tres $-1$'s y seis $1$'s
5. dos $-1$'s y siete $1$'s
6. dos $1$'s y siete $-1$'s
7. una $1$'s y ocho $-1$'s
8. una $-1$'s y ocho $1$'s

independientemente, la suma nunca se $0$.

pero, ¿cómo puedo demostrar que?

Answer 1

El producto de la $a_i$ es igual al producto de la $b_i$. Esto es debido a que cada uno de estos productos es el producto de todos los elementos en el $n\times n$ matriz.

Así que el número de $-1$'s entre las $a_i$, y entre el $b_i$, tienen la misma paridad (ambos números son aún o ambos son impares).

De ello se desprende que el combinado de número de $-1$'s entre las $a_i$ $b_i$ es incluso.

Esto garantiza que la suma de todas las $a_i$ y todos los $b_i$ no puede ser $0$. Si la suma es $0$, el número total de $-1$'s entre las $a_i$ $b_i$ debe $n$. Y $n$ es impar.