¿Existe un no-conjunto vacío es un subconjunto de su conjunto potencia?

Question

Mientras se trabaja a través de Velleman, me demostró que si $A \subseteq P(A)$,$P(A) \subseteq P(P(A))$.

Un ejemplo donde esto puede ser el caso cuando se $A = \emptyset$. Otra puede ser al $\emptyset \in A$.

No puedo pensar en otro ejemplo, sin embargo. Suponiendo que $x$ $y$ son dos arbitraria de elementos de $A$, $P(A)$ siempre encierran esos elementos en un nuevo conjunto, por lo tanto $x,y \notin P(A) $

Por lo tanto mi pregunta es:

Hay un ejemplo de un conjunto, $A$ donde $A \subseteq P(A)$ varita $A$ no está vacío y no contiene el conjunto vacío.

Answer 1

No hay.

Supongamos que $A\subseteq\wp(A)$, donde $A\ne\varnothing$. Por el axioma de regularidad hay un $a\in A$ tal que $a\cap A=\varnothing$. $a\in A\subseteq\wp(A)$, Que $a\in\wp(A)$ y por lo tanto $a\subseteq A$. Sigue eso si $x\in a$, entonces el $x\in a\cap A$ y $x\cap A\ne\varnothing$, por lo que debe ser el caso que $a=\varnothing$.