Aprendizaje teoría de la representación de grupos de Lie para alguien que sabe de álgebras de Lie

Question

Me gustaría aprender la teoría de la representación de grupos de Lie. Tengo un buen conocimiento de álgebras de Lie semisimple y su teoría de la representación, así como los fundamentos de grupos de Lie.

¿Hasta qué punto están las teorías de la representación de los grupos y el álgebra correspondiente relacionados entre sí?

¿Hay un libro que recomendaría para alguien que sabe mucho de representaciones de álgebras de Lie, pero tiene sólo algo conocimientos básicos de grupos de mentira?

Answer 1

La teoría de la representación de la Mentira de grupos y álgebras de Lie están muy relacionados. De hecho, en el caso de Simplemente conectados a la Mentira de los grupos, las representaciones irreducibles de éstas se encuentran los grupos están en bijection con las representaciones irreducibles de su correspondiente Mentira álgebra. En el caso de la conexión de un grupo Mentira, las representaciones irreducibles de su correspondiente Mentira álgebra en bijection con las representaciones irreducibles de su universal que cubre el espacio ( lo cual es una Mentira grupo ). Si su Mentira grupo no está conectado, se puede utilizar esta correspondencia considerando el componente conectado de la identidad ( su grupo de modulo este componente sólo será un discreto/dimensión 0 grupo ).

La parte superior de mi cabeza, no puedo dar 2 buenos libros que ilustran esta correspondencia muy bien: teoría de la Representación: un primer curso (Fulton y Harris) y Introducción a la Mentira de Grupos y álgebras de Lie ( Krilliov Jr ). Usted también puede aprender una buena cantidad por la lectura de los primeros capítulos de las Representaciones de la Compacta Mentira grupos por Bockner. Sin embargo, el resto del libro se desarrolla la teoría de la casi totalidad sin ninguna referencia a las álgebras de Lie.

Answer 2

Hay una importante divisoria de aguas entre finito-dimensionales y de dimensiones infinitas representaciones de ambos/cualquiera de Lie y álgebras de Lie grupos, especialmente para los no-compacto Mentira grupos, la mayoría de cuyos irreductible unitario de representaciones son, definitivamente, no finito-dimensional.

Por lo tanto, @Elliot recomendación de Fulton-Harris parece ser popular, conexión a finito-dimensional de la teoría de la representación...

Pero todos pero el trivial finito-dimensional repns de infinito-dimensional [Editar! no compacta! :)] Mentira grupos, como las $SL_2(\mathbb R)$, no son unitarios. La central unitaria de repns de $SL_2(\mathbb R)$ son tales y de dimensiones infinitas.

Por último, uno de los más idóneos con los libros en papel es Varadarajan Cambridge-Presione el botón "análisis Armónico en semi-simple Mentira grupos". Tratamientos formales son Knapp (Princeton de Prensa) y Wallach (Academic Press).

Harish-Chandra descubrió en la década de 1950 que la repn teoría de la semi-simple o reductora de la Mentira de los grupos, no sólo es compacto, como el considerado por Weyl 20+ años anteriores, fue bien delineados por la Mentira álgebra repns, tal vez recordando también la repn teoría restringida a un máximo compacto. Así, $\frak{g}$,$K$-los módulos.

Quizás el interrogador puede aclarar sus necesidades...