Diferencial del mapa de detección

Question

Quiero demostrar la diferencial del mapa det en alguna matriz $A$ viene dada por $f(A)\operatorname{tr}(X)$

dejar $f:GL_n(\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R}$ es el mapa det, es decir $f(A)=\det A$ ,

reclamar: $f_{*}(AX)=(f(A))\operatorname{tr}(X)$

prueba de la reclamación:

Que una curva $c(t)=Ae^{tX}$ tal que $c(0)=A,c'(0)=AX$ . utilizando esta curva calculamos el diferencial

$f_{A{*}}(AX)=\frac{d}{dt}|_{t=0}f(c(t))=c'(t)|_{t=0}f(c(t))|_{t=0}=AXf(A)=AX(\det A)$ ¿en qué me estoy equivocando? Gracias.

Answer 1

Parece que tu problema es que has olvidado tomar la derivada (gradiente) del determinante $f:\mathbb R^{n^2}\to\mathbb R$ . Es decir, debería tener $$\frac{d}{dt}f(c(t))|_{t=0} = \left[\nabla f(c(t))c'(t)\right]|_{t=0}$$

Pero tal vez haya una forma mejor, y se ha trabajado aquí .