Maximización de $|f'(0)|$ de una función analítica con $f(1/2)=0$.

Question

Que f sea una función analítica desde el disco de la unidad D en el disco de unidad D. asuma que $f(1/2)=0$, $|f'(0)| \leq 25/32$ de prueba.

Estoy pegado con este problema. He intentado añadir algunas g auto mapa conformal del disco unidad así que $fg(0)=0$ aplicar el lema de Schwarz, pero esto sólo da el límite superior de $|f'(1/2)|$. ¿Hay cualquier otro enfoque para este problema?

Answer 1

¿Dónde se encuentra este problema? Mi solución es un poco complicado...

Escribir $f(z) = g(z) \cdot \frac{z-\frac12}{\frac12 z - 1}$. Aviso de $g$ es una analítica de la función de $D$ (la unidad de disco) a $D$.

Usted puede comprobar fácilmente que $f^\prime(0) = -\frac34 g(0) + \frac12 g^\prime(0)$. Por Cauchy de la integral de la fórmula, tenemos $$ f^\prime(0) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{|z|=r} g(z) \cdot \left( -\frac34 \cdot \frac1z + \frac12 \cdot \frac{1}{z^2} \right) \, \rm{d} z =: \frac{1}{2 \pi i} \int_{|z|=r} g(z) \cdot K(z) \, \rm{d} z, $$ para $0 < r < 1$. Tomando valor absoluto, tenemos $$ |f^\prime(0)| \le \frac{\| g \|_\infty}{2 \pi} \cdot \int_{|z|=r} |K(z)| \cdot |\rm{d} z|, $$ donde $\| g \|_\infty = \sup_{|z|\le 1} |g(z)| \le 1$. Si tomamos el límite de $r \to 1$, y realizar la integración, obtenemos $|f^\prime(0)| \le 0.836$.

Desde $\frac{25}{32} = 0.78125$, tenemos que mejorar el método. Aviso la podemos reemplazar $K(z)$ por cualquier función que tiene la misma parte principal (es decir, añadir una analítica de la función de a $K$). La elección óptima resulta ser $$ \kappa(z) = \frac{(4-3z)^2}{32 z^2} = \frac12 \cdot \frac{1}{z^2} - \frac34 \cdot \frac1z + \frac{9}{32}, $$ pero esto requiere más explicaciones. Repitiendo el mismo argumento, obtenemos $$ |f^\prime(0)| \le \frac{1}{2 \pi} \cdot \int_{|z|=1} |\kappa(z)| \cdot |\rm{d} z| = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{1}{32}|4-3 e^{it}|^2 \, \rm{d} t = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{16 - 24 \cos(t) + 9}{32}\, \rm{d} t = \frac{25}{32}.$$

Answer 2

Creo que la prueba de Schwarz-Pick(S-P) lema podría indicar un enfoque: debemos estimar $|f(0)|$. Supongamos que nos dan $f(a)=0$. Parte de la prueba de S-P dará que $|f(z)|\leq \phi_a(z)|$ donde $\phi_a(z)=\frac{a-z}{1-\overline{a}z}$ $z\in D$ y el máximo se logra cuando $f(z)=\phi_a(z)$. Por lo tanto, $|f(0)|\leq \frac{|1/2-0|}{|1-0|}\leq 1/2$. Ahora aplicamos el lema S-P para obtener $|f'(0)|\leq 3/4 < 25/32$.

De alguna manera me estoy máximo de 3/4 que es menor que lo que quiere, así que no sé donde estoy cometiendo un error. Pero puse esto para que alguien puede venir y solucionar este problema.