Ayuda con problema de trigonometría

Question

¡Hola, chicos! Estoy preparando para mi examen de ingreso de colegio y me encontré con este problema en mi libro:

$$\tan\alpha = \frac{(1+\tan 1^{\circ})\cdot (1+\tan 2^{\circ})-2}{(1-\tan 1^{\circ})\cdot(1-\tan 2^{\circ})-2}$$

Debo encontrar el ángulo $\alpha$. ¿Alguien me puede ayudar por favor? He intentado resolverlo, pero apenas no puedo conseguir ninguna solución. Por cierto, la respuesta correcta es $\alpha = 42^{\circ}$

¡Gracias!

Answer 1

$$\begin{align*} V&=\frac{\tan a\tan b+\tan a+\tan b-1}{\tan a\tan b-\tan a-\tan b-1}\\ &=\frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b + \sin a\sin b - \cos a\cos b}{\sin a\sin b-\cos a\cos b-\sin a\cos b-\cos a\sin b}\\ &=\frac{\sin (a+b)-\cos(a+b)}{-\cos(a+b)-\sin(a+b)} \end{align*} $$

Ahora voy a usar: $$\sin x-\cos y = \sin x-\sin(90^\circ-y)=2\sin\frac{x+y-90^\circ}2\cos\frac{90^\circ+x-y}2,$$ which yields for $y % = x$

$$\sin x-\cos x = -2\cos45^\circ\sin(45^\circ-x)$$

y

$$\cos x +\sin y = \sin(90^\circ-x)+\sin y = 2\cos\frac{90^\circ-x-y}2\sin\frac{90^\circ-x+y}2$ $ que produce $y=x$

$$\cos x+\sin y = 2\sin45^\circ\cos(45^\circ-x)$$

Tapar esto en la fórmula anterior (para $x=a+b$) Obtener

$$V=\frac{-2\cos45^\circ\sin(45^\circ-a-b)}{-2\sin45^\circ\cos(45^\circ-a-b)}=\tan(45^\circ-a-b)$$