Sea f una función doblemente diferenciable y con derivadas continuas en un intervalo $[a,b]$ que contiene $0$ . Demuestra la siguiente afirmación:

Question

$$\lim_{x\to0} \frac{f'(x) - \frac{f(x)-f(0)}{x}}{x} = \frac{f''(0)}{2}$$

Llevo tiempo dándole vueltas a esto, pero no consigo nada. Lo que he hecho: escribir $f'(x)$ como se define: $$f'(x) = \lim_{h\to x}\frac{f(h) - f(x)}{h-x}$$

Ahora podemos escribir: $$\lim_{x\to0} \frac{f'(x) - \frac{f(x)-f(0)}{x}}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\lim_{h\to x}\frac{f(h) - f(x)}{h-x} - \frac{f(x)-f(0)}{x}}{x} $$

He intentado muchas manipulaciones algebraicas después de esto, pero hasta ahora no ha salido nada. ¿Podría alguien orientarme en la dirección correcta?

EDITAR: Acabo de abrir Rudin, que tiene una pregunta similar que indica que se debe utilizar la de l'Hopital. Efectivamente:

$$\lim_{x\to0} \frac{f'(x) - \frac{f(x)-f(0)}{x}}{x} = \lim_{x\to0} \frac{xf'(x) - f(x)-f(0)}{x^2}$$

Podemos aplicar l'Hôpital: $$ \lim_{x\to0} \frac{xf'(x) - f(x)-f(0)}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{f'(x) + xf''(x) - f'(x)}{2x} = \frac{f''(0)}{2}$$

EDITAR #2 Usando el teorema de Taylor, como se sugiere en los comentarios. Elegimos realizar la expansión de Taylor de $f(0)$ en $x_0 = x $ . Entonces: $\exists c $ entre $x$ y $0$ tal que:

$$f(0) = f(x) - xf'(x) + \frac{x^2f''(c)}{2} \implies \frac{f''(c)}{2} = \frac{f'(x) - \frac{f(x)-f(0)}{x}}{x} $$

Como $x\to 0$ , $c\to 0 $ y tenemos

$$\lim_{x\to0} \frac{f'(x) - \frac{f(x)-f(0)}{x}}{x} = \frac{f''(0)}{2}$$

Answer 1

Suponiendo que sólo $f''(0)$ existe, tenemos por Taylor (también conocida como la MVT aplicada dos veces)

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+ (f''(0)/2)x^2 + o(x^2).$$

Así, $(f(x)-f(0))/x = f'(0) +(f''(0)/2)x + o(x).$ Por lo tanto,

$$\frac{f'(x) - (f(x)-f(0))/x}{x} = \frac{f'(x) - f'(0) -(f''(0)/2)x + o(x))}{x}$$ $$ = \frac{f'(x) - f'(0)}{x} -f''(0)/2 + o(1).$$

Como $x\to 0,$ este $\to f''(0)-f''(0)/2 = f''(0)/2,$ y hemos terminado.

Answer 2

El respuesta del usuario "zhw". es mi favorito, pero aquí hay un enfoque que utiliza L'Hospital y asume sólo la existencia de $f''(0)$ (y no la continuidad de $f''$ ).

Tenemos \begin{align} L &= \lim_{x \to 0}\dfrac{f'(x) - \dfrac{f(x) - f(0)}{x}}{x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{xf'(x) - f(x) + f(0)}{x^{2}}\tag{*}\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{xf'(x) - xf'(0) + xf'(0) - f(x) + f(0)}{x^{2}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{f'(x) - f'(0)}{x} + \frac{xf'(0) - f(x) + f(0)}{x^{2}}\notag\\ &= f''(0) + \lim_{x \to 0}\frac{xf'(0) - f(x) + f(0)}{x^{2}}\notag\\ &= f''(0) + \lim_{x \to 0}\frac{f'(0) - f'(x)}{2x}\text{ (via L'Hospital's Rule)}\notag\\ &= f''(0) - \frac{1}{2} \lim_{x \to 0}\frac{f'(x) - f'(0)}{x}\notag\\ &= f''(0) - \frac{f''(0)}{2}\notag\\ &= \frac{f''(0)}{2}\notag \end{align}

El uso directo de la Regla de L'Hospital justo después del paso marcado $(*)$ anterior también da la respuesta, pero sólo si suponemos que $f''$ es continua en $0$ (este es el enfoque dado en cuestión también). Además, hay que tener en cuenta que la existencia de $f''$ en un barrio de $0$ es imprescindible aplicar la Regla de L'Hospital después del paso marcado $(*)$ . El enfoque anterior evita estas condiciones innecesarias y se basa únicamente en la existencia de $f''(0)$ y nada más.

También hay que tener en cuenta que tenemos $$\lim_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0)$$ pero debemos resistir la tentación de sustituir la expresión $(f(x) - f(0))/x$ con $f'(0)$ (esto lleva a una respuesta incorrecta $f''(0)$ ) porque en general al evaluar el límite de una expresión no podemos sustituir una subexpresión por su límite .

Answer 3

A partir de la ley de la media extendida, si $f$ es doblemente diferenciable en la vecindad de $x$ , entonces para $h$ suficientemente pequeño, existe un número $\theta\in (0,1)$ tal que

$$f(x-h)=f(x)-f'(x)h+\frac12 f''(x+\theta h)h^2 \tag 1$$

Si $f''$ es continua en una vecindad de $x$ , entonces tenemos de $(1)$

$$\frac12f''(x)=\lim_{h\to 0}\frac12f''(x+\theta h)=\lim_{h\to 0}\frac{f'(x)h+f(x-h)-f(x)}{h^2}\tag 2$$

Podemos reordenar el límite en el lado derecho de $(2)$ para obtener

$$\frac12f''(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f'(x)-\frac{f(x)-f(x-h)}{h}}{h} \tag 3$$

Podemos sustituir $x$ en la expresión límite de $(3)$ con $x+h$ . Proceder y dejar $x=0$ produce

$$\frac12f''(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f'(h)-\frac{f(h)-f(0)}{h}}{h} \tag 4$$

Desde $h$ es un parámetro "ficticio" en $(4)$ tenemos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac12f''(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-\frac{f(x)-f(0)}{x}}{x} }\tag 5$$

¡como se iba a mostrar!

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NOTAS:

Es interesante señalar que podríamos haber escrito

$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac12 f''(x+\eta h)h^2 $$

para algunos $\eta\in (0,1)$ . Si $f''$ es continua en una vecindad de $x$ entonces

$$\frac12f''(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'(x)}{h}$$

por lo que dejar $x=0$ (y cambiando el índice "ficticio" $h$ a $x$ ) produce

$$\frac12f''(0)=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{f(x)-f(0)}{x}-f'(0)}{x} \tag 6$$

La expresión en $(6)$ es una alternativa a la de $(5)$ .

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