¿Función cuya inversa es también su derivada?

Question

¿Cuáles son algunos buenos ejemplos de una función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ donde su derivada es igual a su inversa? Intenté encontrar un monomio que lo satisficiera partiendo de $f(x) = ax^b$ y mostrando que $f^{-1}(x) = f'(x) \implies b-1=\frac{1}{b} \implies b=\phi$ y consiguió $$f(x) = \frac{x^\phi}{\sqrt[\phi]{\phi}}$$ Lo cual parece funcionar según WolframAlpha, pero me cuesta volver a comprobarlo. ¿Alguna otra idea?

Answer 1

Aquí hay una alternativa: Puede utilizar $$ f^{-1}(x)=\int\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\,dx + c. \tag{1} $$ de "Funciones inversas y diferenciación" .

Establecer $f^{-1}(x)=f'(x)$ y para simplificar tomamos la derivada de $(1)$ . Usted obtiene $$ f''(x)=\frac1{f'(f'(x))}. $$ Ahora ponga $f(x)=\phi^{-\frac1\phi}x^\phi$ . Utilizando $\phi-1=\frac1\phi$ , obtendrá $$ f'(x)=\phi^{2-\phi}x^{\phi-1}\\ f''(x)=\phi^{1-\phi}x^{\phi-2} $$ Ahora, júntalo todo y utiliza $\phi^2=\phi+1$ : $$ \begin{eqnarray} f''(x)&=&\frac1{f'(f'(x))}\\ \phi^{1-\phi}x^{\phi-2}&=&\left(\phi^{2-\phi}\left(\phi^{2-\phi} x^{\phi-1}\right)^{\phi-1}\right)^{-1}\\ &=&\left(\phi^{2-\phi}\left(\phi^{3\phi-2-\phi^2}x^{\phi^2-2\phi+1}\right)\right)^{-1}\\ &=&\left(\phi^{2\phi-\phi-1}x^{\phi+1-2\phi+1}\right)^{-1}\\ &=&\left(\phi^{\phi-1}x^{-\phi+2}\right)^{-1}\\ \end{eqnarray} $$

Answer 2

Lo que has dado es sólo una función de $(0,\infty)$ a $(0,\infty)$ no $\mathbb R$ a $\mathbb R$ . Ver Función satisfactoria $f^{-1} =f'$ en MathOverflow para otras ideas y un análisis más profundo con esta restricción a los reales positivos.

Para el dominio $\mathbb R$ no existe ninguna solución. Una solución continua inyectiva $f:\mathbb R\to\mathbb R$ debe ser monótona, lo que implica que su derivada no puede cambiar de signo, pero $f^{-1}$ incluiría tanto números positivos como negativos en su rango.

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Esto es lo que se ve en Desmos si extiende su respuesta siguiendo El consejo de Mario Carneiro en un comentario (que no entendí al principio):

Uniendo estas funciones se obtiene un mapa invertible de $\mathbb R$ en $\mathbb R$ tal que $f'(x) = f^{-1}(x)$ cuando $f'(x)$ existe, y $f'(0)$ no existe, pero la derivada de la derecha $\lim\limits_{h\to 0+}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}$ existe y es igual a $0=f^{-1}(0)$ . Teniendo en cuenta que una solución diferenciable es imposible, esto es bastante bueno.

Answer 3

Comienza con $\dot{y}=y^{-1}$ Aplicar Grupo de Mentira $G(x,y)=(\lambda x,\lambda^\beta y)\lambda_o=1$ Los estabilizadores para este grupo incluyen $\mu=\frac{y}{x^\frac{1}{2}}$ y $\nu=x^{\frac{1}{2}}\dot{y}$ . Multiplicando el DEQ por $x^{\frac{1}{2}}$ tenemos $x^{\frac{1}{2}}\dot{y}=\bigg(\frac{x^{\frac{1}{2}}}{y}\bigg)$ que hace nuestro DEQ, en forma de estabilizador, $\nu=\mu^{-1}$ . Desde $$x\frac{d\mu}{dx}=\nu -\beta\mu = \mu^{-1} -\frac{1}{2}\mu$$ $$\frac{d\mu}{\mu^{-1}-\frac{1}{2}\mu}=\frac{dx}{x}$$ Al integrar esto se obtiene $$-ln(\mu^2-2)=lnx+lnC$$ Sustituyendo por $\mu$ y reordenando se llega a la solución: $$y=\sqrt{2x+C}$$