¿Es$ds^2$ sólo un número o es realmente una cantidad al cuadrado?

Question

Originalmente pensé que$ds^2$ era el cuadrado de algún número que llamamos el intervalo del espacio-tiempo. Pensé esto porque Taylor y Wheeler lo tratan como el cuadrado de una cantidad en su libro Spacetime Physics. Pero también he oído$ds^2$ su apenas un dispositivo de la notación de una cierta clase y no representa realmente el cuadrado de cualquier cosa. Es sólo un número y que el signo cuadrado es simplemente convencional.

¿Cual es verdad?

Answer 1

Es una técnica de notación que indica que $\mathrm{d}s^2 = g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu$ es el objeto cuya raíz cuadrada es para ser utilizado como el infinitesimal de la línea de elemento, mediante métodos tradicionales denotado $\mathrm{d}s$, cuando en la determinación de las longitudes de worldlines $x : [a,b] \to \mathcal{M}$ mediante la integración de la línea de elemento a lo largo de ellos como

$$ \begin{align*} L[\gamma] & = \int^b_a \lvert\lvert x'(t) \rvert\rvert \mathrm{d}t = \int_a^b \sqrt{\lvert g_{\mu\nu} x'^\mu(t) x'^\nu(t)\rvert}\mathrm{d}t = \int_a^b \sqrt{\lvert g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x^\nu}{\mathrm{d}t}\rvert}\mathrm{d}t \\ & = \int_x\sqrt{\lvert g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu\rvert}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t} = \int_x\sqrt{\lvert g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu\rvert} = \int_x \mathrm{d}s \end{align*} $$

donde el lado izquierdo se define la longitud funcional y el lado derecho se obtiene por scetchy la manipulación de los diferenciales, que es por qué usted no debe tomar $\mathrm{d}s^2 = g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu$ demasiado en serio.

Answer 2

Como ya se ha mencionado por otros, $\mathrm ds^2$ es utilizado como sugerente notación para el tensor métrico $$ g = \sum_{\mu\nu}\mathrm g_{\mu\nu} \, dx^\mu\otimes\mathrm dx^\nu $$

En el caso de una positiva definida métrica y dada una curva $\gamma:[0,T]\to M$, tiene un significado preciso en términos de la longitud de la función $$ s_\gamma(t) = \int_0^t \sqrt{g(\dot\gamma(\lambda),\dot\gamma(\lambda))}\;\mathrm d\lambda $$ con derivados $$ \mathrm ds_\gamma = \sqrt{g(\dot\gamma\dot\gamma)} $$

o lo que es equivalente, en términos de la retirada de $$ \gamma^*g = \mathrm ds\otimes\mathrm ds $$ donde $s$ denota la inducida por la normal de coordenadas en el intervalo.

Answer 3

Es un cuadrado de un intervalo de tiempo apropiado o un cuadrado de distancia apropiada (módulo un signo no esencial).

Answer 4

Es un dispositivo de anotación. Tenga en cuenta que en$(-+++\cdots)$ la longitud apropiada $$ ds ^ 2 = g _ {\ mu \ nu} dx ^ \ mu dx ^ \ nu $$ es negativa para timelike$dx$. Así,$ds\equiv \sqrt{ds^2}\in\mathbb{C}$. Por lo tanto, la raíz cuadrada no tiene significado físico.

Answer 5

Si utiliza el $({-}{+}{+}{+})$ convención de signos, a continuación, $ds$ es la distancia adecuada entre las dos infinitesimalmente separados puntos; si usted usa la $({+}{-}{-}{-})$ convenio, entonces es el momento adecuado. En cada caso, si usted elija los puntos cuya separación es tal que la distancia adecuada (respectivamente, en el tiempo apropiado) no es significativa, a continuación, $ds$ será imaginario.

En puramente estético motivos, siempre he pensado que el buen tiempo es más fundamental que la distancia adecuada, ya que tiene un efecto físico directo y pueden ser medidos, mientras que la distancia adecuada debe ser inferida. Desde esa perspectiva me parece más agradable el uso de la $({+}{-}{-}{-})$ convenio y pensar de $ds$ como un intervalo de tiempo apropiado, que se convierte en imaginario si no hay ningún objeto puede viajar a lo largo de la ruta en cuestión.

Pero desde el punto de vista de la realidad, haciendo cálculos, nada de esto importa. $ds$ aparezca siempre en el cuadrado de la forma, así que cualquier convención de signos que usted elija, si estás preocupado por la idea de un tiempo imaginario o una distancia imaginaria se puede evitar mediante el tratamiento de las $ds^2$ en lugar de $ds$ como la base fundamental de la cantidad. Ni la opción de firmar convenio ni la elección de cómo interpretar $ds^2$ cambios en el resultado de cualquier cálculo, así que son idénticos física predicciones y son en última instancia, tanto en materia de gustos.