Argumentar el límite de una función usando epsilon delta

Question

Así que tengo algo de la función f(x,y) donde

$$f(x,y) = \frac{3xy^2}{x^2+y^4}$$

y he utilizado otras formas de determinar que $\lim \limits_{x,y \to 0,0} {f(x,y)}$ podría ser $0$. Así que ahora quiero usar el epsilon-delta definición para demostrar que el límite es de $0$.

Lo que tengo hasta ahora es que el$\delta > \sqrt{x^2 + y^2} > 0$$\epsilon > \frac{3|x|y^2}{x^2+y^4}$. Mi argumento es que, debido a $\sqrt{x^2+y^2}$ siempre es positivo para $(x,y)$ en el dominio de $f(x,y)$ entonces existe un $\delta > 0$ todos los $\epsilon > 0$ y por lo tanto el límite es $0$.

Me preguntaba si hay un error en esta lógica, y si no es como debe ser corregido. Gracias.

Answer 1

Si se dirige hacia el origen a lo largo de la curva$x = y^2$ entonces su límite parece:

ps

Que converge a$$\frac{3xy^2}{x^2 + y^4} = \frac{3y^4}{2y^4} = \frac{3}{2}$. Compare esto con el límite que se acerca al origen a lo largo de$3/2$ para derivar una contradicción; Por lo tanto, el límite no existe.

Answer 2

Pensé que podría ser instructivo para presentar un enfoque que utiliza un conocido de la desigualdad para facilitar una $\delta-\epsilon$ prueba que demuestra que el límite no existe. Para ello, vamos a proceder.

Nota del AM-GM de la desigualdad, tenemos $$x^2+y^4\ge 2\sqrt{x^2y^4}=2|x|y^2$$with equality when $x=y^2$.

Por lo tanto, lo mejor que podemos esperar es que

$$\frac{3xy^2}{x^2+y^4}\le \frac32$$

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Ahora, si $x=0$ (o $y=0$),$\lim_{y\to 0}\frac{3(0)y^2}{(0)^2+y^4}=0$.

Procedemos a mostrar que el límite

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{3xy^2}{x^2+y^4}\ne 0$$

y, por tanto, el límite no existe.

En primer lugar, tome $\epsilon=1$. Entonces, para todos los $\delta>0$, tomamos $x^2=y^4$ tal que $0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ y

$$\left|\frac{3xy^2}{x^2+y^4}\right|=\frac32>\epsilon$$

Por lo tanto, el límite no es $0$.

En la medida en que el valor del límite depende de la manera en que se toma, el límite no existe.