¿Cuáles son las raíces del polinomio$x^{3}+3x-2\pi$$?$

Question

Mediante el uso de la regla de signos de Descartes, puedo decir que este polinomio$$x^{3}+3x-2\pi$ $ tiene una raíz real.

Pero quiero saber cuál es esa raíz y cuál es la factorización de la misma. Para las raíces complejas las puedo encontrar del factor cuadrático de esto.

Cualquier ayuda sobre cómo empezar a pensar en la factorización del polinomio es bienvenida.

Gracias.

Answer 1

Las cosas no son realmente tan malo como la gente hace ser. La primera cosa a recordar es que las ecuaciones polinómicas de hasta e incluyendo el grado $4$ siempre puede ser resuelto en términos de los radicales. Para la totalidad caso general, las fórmulas pueden causar problemas, pero hay dos simplificaciones:

1. Siempre se puede asumir que el segundo más alto coeficiente es cero por un Tschirnhaus-Transformación (lineal sustitución). Este ya es el caso aquí y simplifica considerablemente las fórmulas en el cúbicos caso.

2. Uno puede tratar de trabajar con el campo teórico de los métodos directamente. Esto debería simplificar las cosas, si el grupo de Galois es lo suficientemente pequeño en comparación con el totalmente grupo simétrico. Esto no es necesario aquí.

Para este polinomio, parece más fácil de aplicar directamente la fórmula de Cardano.

(La fórmula de Cardano) Deje $K$ ser un campo con $\operatorname{char}(K) \ne 2,3$. Considere la ecuación cúbica $x^3 + px + q =0$ donde $p$, $q \in K$. Las soluciones están dadas por $x_1 = u + v$, $x_2 = \zeta^2 u + \zeta v$, $x_3 = \zeta u + \zeta^2 v$ donde $\zeta$ es arbitraria primitiva raíz cúbica de la unidad, y $$ \begin{align*} u &= \sqrt[3]{-q/2 + \sqrt{(p/3)^3 + (q/2)^2}} & v &=\sqrt[3]{-q/2 - \sqrt{(p/3)^3 + (q/2)^2}}, \end{align*} $$ donde la tercera parte de las raíces debe ser tema elegido para la señal de condición de $uv=-p/3$. La raíz cuadrada puede ser tomado arbitraria, sino que tiene que ser la misma en ambas ocasiones.

Tenga en cuenta que a priori nos habría tres posibilidades para cada raíz cúbica, dando un total de 9 posibilidades. Pero el lado de la condición en $uv$ reduce que en la mayoría de los tres soluciones distintas.

Ahora, conectar tu ecuación vemos $p=3$, $q=-2\pi$. (Por cierto, los coeficientes son elegidas de tal forma que las fórmulas se convierten en particular, simplemente. Llegamos a la conclusión de que este fue un ejercicio de un libro o curso). Ahora elija $u = \sqrt[3]{\pi + \sqrt{1 + \pi^2}}$ $v=\sqrt[3]{\pi - \sqrt{1 + \pi^2}}$ a ser la verdadera raíz cubica. A continuación,$u > 0$$v < 0$, de modo que el signo de la condición se verifica. Un tercio de la raíz de la unidad está dada por $\zeta = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}$. Las raíces se determina como en el anterior, en particular, $$ x_1=\sqrt[3]{\pi + \sqrt{1 + \pi^2}} + \sqrt[3]{\pi \sqrt{1 + \pi^2}} $$ (con la raíz cubica tomado en $\mathbb R$) es la verdadera raíz.

Nota: Desde $\pi$ es de hecho trascendental $\mathbb Q$, este es el mismo como el factoring $g=x^3 + 3x -2y$ en la división de campo de la $g$ sobre la función racional campo $\mathbb Q(y)$.