¿Qué significa que un espacio se cubra no trivialmente?

Question

Estoy pasando por preguntas de examen de calificación y llegué a un concepto que involucra cubrir espacios de cuya definición no entendí.

¿Qué significa que un espacio se cubra no trivialmente?

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

La identidad de la función $id:X\to X$ es siempre una cubierta de $X$. Obviamente no es un ejemplo muy interesante de una cubierta de espacio, por lo que se llama un trivial de cobertura (de $X$ por sí mismo). Curiosamente, hay espacios que cubren a sí mismos como no-trivial. Por ejemplo, considere el $S^1$ como el conjunto de los números complejos de módulo de $1$. A continuación, para cada $k\in \mathbb Z$, la función de $f:S^1\to S^1$ $f(z)=z^k$ es una cubierta de $S^1$ por sí mismo. Estos son por lo tanto infinitamente muchos auto revestimientos de $S^1$, y sólo uno de ellos es la trivial.

Answer 2

Yo interpretaría "no trivial" para significar no sólo que el mapa de cobertura no es la identidad, sino que no es un homeomorfismo. En otras palabras, la cubierta debe tener más de una hoja. Los ejemplos dados no son triviales en este sentido más fuerte, pero, por ejemplo, una traducción de$\mathbb R$ es una cobertura y no es la identidad, pero yo no lo llamaría una cobertura no trivial.

Answer 3

Un espacio$X$ no se cubre trivialmente cuando existe un mapa de cobertura$p:X\to X$ distinto del mapa de identidad de$X$ (que siempre es un mapa de cobertura).

Answer 4

Significa que hay un mapa de cobertura$p: X \longrightarrow X$ que no es el mapa de identidad. Por ejemplo, el círculo $$S^1 = \{z \in \Bbb C : |z| = 1\}$ $ se cubre no trivialmente a través de$$ p: S^1 \longrightarrow S^1,$$p(z) = z^2.